11. Элементы теории алгоритмов

Понятие «алгоритм» давно является привычным не только для математиков. Оно является концептуальной основой разнообразных процессов обработки информации. Возможность автоматизации таких процессов обеспечивается наличием соответствующих алгоритмов. С алгоритмами первое знакомство происходит в начальной школе при изучении арифметических действий с натуральными числами. В упрощенном понимании «алгоритм» — это то, что можно запрограммировать на ЭВМ.

Слово Алгоритм содержит в своем составе преобразованное географическое название Хорезм. Термин «алгоритм» обязан своим происхождением великому ученому средневекового Востока Маххамад ибн Муса ал-Хорезми (Магомет, сын Моисея, из Хорезма). Он жил приблизительно с 783 по 850 гг., и в 1983 году отмечалось 1200-летие со дня его рождения в городе Ургенче — областном центре современной Хорезмской области Узбекистана. В латинских переводах с арабского арифметического трактата ал-Хорезми его имя транскрибировалось как algorismi. Откуда и пошло слово «алгоритм» — сначала для обозначения алгоритмов цифровых вычислений десятичной позиционной арифметики, а затем для обозначения произвольных процессов, в которых искомые величины решаемых задач находятся последовательно из исходных данных по определенным правилам и инструкциям.

Вплоть до 30-х годов нашего столетия понятие алгоритма оставалось интуитивным понятием, имевшим скорее методологическое, а не математическое значение. Так, к началу XX века много ярких примеров алгоритмов дала алгебра и теория чисел. Среди них упомянем алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел или двух целочисленных многочленов, алгоритм Гаусса решения системы лния рациональных корней многочленов одного переменного с рациональными коэффициентами, алгоритм Штурма определения числа действительных корней многочлена с действительными коэффициентами на некотором отрезке действительных чисел, алгоритм разложения многочлена одного переменного над конечным полем на неприводимые множители. Указанные алгоритмические проблемы решены путем указания конкретных разрешающих процедур. Для получения результатов такого типа достаточно интуитивного понятия алгоритма. Однако в начале XX века были сформулированы алгоритмические проблемы, положительное решение которых представлялось маловероятным. Решение таких проблем потребовало привлечения новых логических средств. Ведь одно дело доказать существование разрешающего алгоритма — это можно сделать, используя интуитивное понятие алгоритма. Другое дело  — доказать несуществование алгоритма — для этого нужно знать точно, что такое алгоритм.

Задача точного определения понятия алгоритма была решена в 30-х годах XX в. в работах Гильберта, Черча, Клини, Поста, Тьюринга в двух формах: на основе понятия рекурсивной функции и на основе описания алгоритмического процесса. Рекурсивная функция — это функция, для которой существует алгоритм вычисления ее значений по произвольному значению аргумента. Класс рекурсивных функций был определен строго как конкретный класс функций в некоторой формальной системе. Был сформулирован тезис (называемый «тезис Черча»), утверждающий, что данный класс функций совпадает с множеством функций, для которых имеется алгоритм вычисления значений по значению аргументов. Другой подход заключался в том, что алгоритмический процесс определяется как процесс, осуществимый на конкретно устроенной машине (называемой «машиной Тьюринга»). Был сформулирован тезис (называемый «тезис Тьюринга»), утверждающий, что любой алгоритм может быть реализован на подходящей машине Тьюринга. Оба данных подхода, а также другие подходы (Марков, Пост) привели к одному и тому же классу алгоритмически вычислимых функций и подтвердили целесообразность использования тезиса Черча или тезиса Тьюринга для решения алгоритмических проблем. Поскольку понятие рекурсивной функции строгое, то с помощью обычной математической техники можно доказать, что решающая некоторую задачу функция не является рекурсивной, что эквивалентно отсутствию для рассматриваемой задачи разрешающего алгоритма. Аналогично, несуществование разрешающей машины Тьюринга для некоторой задачи равносильно отсутствию для нее разрешающего алгоритма.

Указанные результаты составляют основу так называемой дескриптивной теории алгоритмов, основным содержанием которой является классификация задач по признаку алгоритмической разрешимости, т. е. получение высказываний типа «Задача П алгоритмически разрешима» или «Задача П алгоритмически неразрешима». В данном направлении был получен ряд фундаментальных результатов. Среди них — отрицательное решение Новиковым П. С. в 1952 году классической проблемы тождества для конечно определенных групп, сформулированной Деном в 1912 году. Знаменитая десятая проблема Гильберта, сформулированная им в 1900 году (среди других 23 проблем) формулируется так: «10. Задача о разрешимости диофантова уравнения[2]. Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах». Алгоритмическая неразрешимость 10-й проблемы Гильберта была доказана в 1970 году Матиясевичем Ю. В.

В настоящее время теория алгоритмов образует теоретический фундамент вычислительных наук. Применение теории алгоритмов осуществляется как в использовании самих результатов (особенно это касается использования разработанных алгоритмов), так и в обнаружении новых понятий и уточнении старых. С ее помощью проясняются такие понятия как доказуемость, эффективность, разрешимость, перечислимость и другие.

В технику термин «алгоритм» пришел вместе с кибернетикой. Понятие алгоритма помогло, например, точно определить, что значит эффективно задать последовательность управляющих сигналов. Применение ЭВМ послужило стимулом развитию теории алгоритмов и изучению алгоритмических моделей, к самостоятельному изучению алгоритмов с целью их сравнения по рабочим характеристикам (числу действий, расходу памяти), а также их оптимизации. Возникло важное направление в теории алгоритмов — сложность алгоритмов и вычислений. Начала складываться так называемая метрическая теория алгоритмов, основным содержанием которой является классификация задач по классам сложности. Сами алгоритмы стали объектом точного исследования, как и те объекты, для работы с которыми они предназначены. В этой области естественно выделяются задачи получения верхних и нижних оценок сложности алгоритмов. Методы решения этих задач совершенно различны.

Для получения верхних оценок достаточно интуитивного понятия алгоритма. Для этого строится неформальный алгоритм решения конкретной задачи, и затем он формализуется для реализации на подходящей алгоритмической модели. Если показывается, что сложность (время или память) вычисления для этого алгоритма не превосходит значения подходящей функции при всех значениях аргумента, то эта функция объявляется верхней оценкой сложности решения рассматриваемой задачи. В области получения верхних оценок получено много ярких результатов для конкретных задач.

Среди них разработаны быстрые алгоритмы умножения целых чисел, многочленов, матриц, решения линейных систем уравнений, которые требуют значительно меньше ресурсов, чем традиционные алгоритмы. Установить нижнюю оценку — значит доказать, что никакой алгоритм вычисления не имеет сложности меньшей, чем заданная граница. Для получения результатов такого типа необходима точная фиксация рассматриваемой алгоритмической модели, и такие результаты получены только в очень жестких вычислительных моделях. В связи с этим получила развитие проблематика получения «относительных» нижних оценок, так называемая теория NP-полноты, связанная с труднорешаемостью переборных задач.

Рассмотрим неформально, что именно в интуитивном понятии алгоритма нуждается в уточнении.

< Предыдущая		Следующая >