63. Действия над линейными операторами

Во множестве всех операторов, действующих из L1 в L2 можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:

А) суммой двух операторов и назовем оператор ( + ), для которого ( + ) х = Х + Х;

Б) произведением оператора на скаляр l назовем оператор l, для которого (l) х = l( х);

В) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0×х = 0 для любого Х;

Г) для каждого оператора определим противоположный оператор - посредством соотношения - = (-1) ×.

Тогда множество всех линейных операторов М(L1, L2) с указанными выше операциями и с выбранными нулевым и противоположным оператором образует, очевидно, линейное пространство.

Рассмотрим свойства множества операторов М(L, L), т. е. операторов, действующих из L в L (пространство само в себя).

Назовем единичным оператор , действующий по правилу Х = х.

Введем понятие произведения линейных операторов из множества М(L, L) и по правилу: (×) х = (Х ). Отметим, вообще говоря, что ×¹×.

Введя эти два определения, можно определить обратный оператор для данного оператора : если ×=×=.

В этом случае оператор называется обратным оператору и обозначается -1.

Из определения оператора -1 следует, что для любого Х Î V выполняется соотношение -1Х = х.

Будем говорить, что линейный оператор действует взаимно однозначно, из L в L, если любым двум различным х1 и х2 отвечают различные Х1 и Х2.

Отметим без доказательства, что для того, чтобы линейный оператор из М(L, L) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из L в L.

Введем понятие ядра и образа линейного оператора.

Ядром линейного оператора называется множество всех тех элементов Х Пространства L, для которых Х = 0.

Ядро обозначается символом ker . (привести пример – система линейных однородных уравнений).

Если ker = 0, то оператор действует взаимно однозначно из L в L. Действительно, в этом случае если Х = 0, то х = 0. Или у1 =Х1, у2 = Х2. Если у1 = у2, то у1 – у2 = 0 = Х1 - Х2 = (х1 – х2) Þ х1 – х2 = 0.

Условие ker = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор имел обратный.

Образом линейного оператора назовем множество всех элементов у пространства L, представляемых в виде у = Х.

Образ обозначается символом im (отличается от Im, используемого для обозначения мнимой части z).

Очевидно, что если ker = 0, то im = L и наоборот. Очевидно, что ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространства L. Поэтому можно говорить о размерности dim (ker ) и dim (im ).

Запишем без доказательства следующую теорему:

Пусть размерность пространства L равна n и пусть - линейный оператор из M(L, L). Тогда dim (ker ) + dim (im ) = n.

< Предыдущая		Следующая >