58. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидового пространства справедливо неравенство

(x, y)2 £ (x, x)×(y, y),

Называемое неравенство Коши – Буняковского.

Доказательство: в силу аксиомы 40 имеем

(l x – y, l x - y) ³ 0.

В силу аксиом 10 - 30 раскроем это неравенство:

L2 (x, x) - 2l(x, y) + (y, y) ³ 0

Этот трехчлен больше или равен нулю. Т. е. квадратное уравнение относительно l не имеет действительных корней, а может иметь лишь нулевой корень. Значит его дискриминант равен или меньше нуля:

D = (x, y)2 – (x, x)×(y, y) £ 0

Или (x, y)2 < (x, x)×(y, y) |x, y| £ |x|×|y|.

Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >