11. Однородная система линейных алгебраических уравнений

Матричная запись АХ=0

Расширенная матрица отличается от матрицы самой системы наличием нулевого столбца, т. е. ранг матрицы А rang A равен рангу расширенной матрицы rang B.

ra=rb

Значит, по теореме Кронеккера-Капелли, система однородных линейных уравнений всегда совместна. Одно решение очевидно: xi=0 (i=1,...,n). Это решение называется тривиальным. Следуя далее теореме Кронеккера-Капелли, придём к выводу, что если rA=n, то решение единственное - тривиальное. Если rA<n, то решений бесконечное множество. Рассуждая таким образом, мы доказали следующую теорему:

Для того, чтобы система однородных уравнений имела решения, отличные от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. Другими словами, если число уравнений равно числу неизвестных, то система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда detA=0.

Очевидны следующие свойства ненулевого решения:

1). Если - решение, то - тоже решение.

2). Если - решения, то и - тоже решения.

В действительности этих свойств можно убедиться непосредственной подстановкой.

Обозначим главные неизвестные через х1 ,...,х2. Тогда, аналогично (****):

В матричной форме:

Можно записать так:

Решения X1,X2,…,Xn-r называются фундаментальной системой решений однородной системы. Общее решение системы X является линейной комбинацией фундаментальной системой решений

X=c1X1+c2X2+...+cn-rXn-r.

Пример: