09. Метод Гаусса

Рассмотрим метод Гаусса (метод исключения неизвестных) с более общих позиций.

Запишем систему:

(*)

Назовём элементарными преобразованиями системы уравнений (*) следующие преобразования:

1). Умножение правой и левой части одного из уравнений на произвольное число .

2). Сложение одного уравнения, умноженного но некоторое , с другим уравнением.

3). Перестановка местами двух уравнений.

Две системы уравнений, полученные одна из другой путём элементарных преобразований называются равносильными, т. е. они имеют либо одни и те же решения, либо обе эти системы не имеют решения.

Запишем матрицу системы (*), добавив справа столбец свободных членов:

Такую матрицу назовём расширенной матрицей системы линейных уравнений. Очевидно, элементарные преобразования системы линейных уравнений означают элементарные преобразования матрицы D. Эти преобразования мы проделывали ранее, вычисляя ранг матрицы. Результатом таких преобразований для матрицы D будет некоторая треугольная () матрица:

Последняя строка матрицы соответствует, очевидно, уравнению: ,

Откуда .

Т. е., после привидения расширенной матрицы к виду, последнее неизвестное сразу находится. Тогда из предпоследнего уравнения найдётся хn-1:

И т. д. система легко решается.

Приведение матрицы к виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных - обратным ходом. Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса:

Расширенная матрица: вычитаем из первой строки вторую

умножим первую строку на 2 и вычтем из 2и и 3и сложим вторую и третью

Из последнего уравнения х3=-1.

Из второго уравнения х2 -1=-7; х2=-6.

Из первого уравнения х1 -6=4; х1=10.

< Предыдущая		Следующая >