21. Исследование модели случайного процесса, подчиняющегося устойчивому распределению Коши

Рассмотрим соотношение между динамическими и статистическими моделями на примере одного из наиболее распространенных симметричных распределений случайной величины, называемого распределением Коши.

Пусть при проведении эксперимента, относительная частота встречаемости, приходящаяся на единичный интервал некоторой случайной величины X (цены товара на рынке), привела к гистограмме процесса, изображенной на рис.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Гистограмма рыночных цен на отдельные товары

При проведении эксперимента были замечены две особенности. Первая заключалась в том, что при наблюдении процесса в Случайные малые интервалы времени Dt случайная величина, естественно, фиксировалась хаотически, но за некоторое определенное время наблюдения Т0 заполнила почти все значения в интервале от –X0 до+X0 . Вторую особенность легко заметить на гистограмме. Она заключалась в том, что при любом реальном увеличении интервала времени наблюдения, значения случайной величины не выходили за пределы указанного интервала.

Выбор аппроксимирующей функции плотности вероятности, на деталях которого останавливаться не будем, приводит к известному в статистике распределению Коши: .

График этой функции изображен на гистограмме непрерывной жирной линией. Очевидно, что распределение Коши отражает все особенности проведенного эксперимента. Не анализируя причин изменения цены товара с течением времени, выясним динамику цены, которая можен быть представлена видом функции X(T) (цена в зависимости от времени).

Вероятность наблюдения цены X за фиксируемый малый интервал времени Dt при условии, что существует полный интервал наблюдения T0, может быть записана по определению вероятности как Dp(X) = Dt/T0. С другой стороны, исходя из определения функции плотности вероятности, имеем: Dp(X) = F(X)Dx. Поэтому справедливо следующее равенство:

.

Так как переменные в этом уравнении уже разделены, то легко получить результат X(T) интегрированием левой и правой части. Правая часть содержит функцию, интеграл от которой дан в Приложении I (№7). Тогда имеем:

Очевидно, что рассматриваемая модель процесса изменения цены на товар, функция плотности вероятности которой подчиняется распределению Коши, является динамической моделью периодического процесса. Если основными параметрами системы рынка считать Цену товара и Скорость ее изменения, то в фазовом пространстве состояний системы для каждого момента времени можно ввести вектор состояния . Так как связь переменных со временем выражается через тригонометрические функции, то можно записать: , откуда следует, что и тогда

На диаграмме состояний, построенной в переменных x и x’, полученное уравнение будет представлять собой эллипс (рис.3). Эта кривая второго порядка в данном случае называется фазовой траекторией и представляет собой еще одну модель рассматриваемого процесса. Так как основные переменные на фазовой траектории согласованы во времени, то процесс называется стационарным. Не изменяющимися характеристиками процесса являются полуоси эллипса, то есть величины X0 и X0ω, а также величина площади эллипса S = πAb =π ωX02.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Фазовая траектория процесса изменения цены

Сам факт наличия периодичности в поведении цены товара на рынке не раскрывает причину возникновения этой периодичности, поэтому использование модели для целей прогнозирования ограничены. Качественно, возникающие колебания можно объяснить коньюнктурой рынка, соотношением между спросом и предложением, «преследующими» противоположные цели (принцип единства и борьбы противоположностей в диалектике). Одну из подобных моделей мы рассмотрели выше, анализируя ситуацию в системе «хищник – жертва», в рамках которой колебания возникали естественным образом, а фазовые диаграммы имели вид овала в стационарном состоянии или вид спирали (расходящейся или свертывающейся) в фазовом пространстве состояний при нестационарном процессе (рис.1а(г), 1б(г)). В принципе, в рассматриваемой модели, на колебания цены (путем администрирования) можно накладывать ограничения как на величину максимальной цены, так и на скорость ее изменения и тем самым добиться либо «затухающих» колебаний, либо «резонансных» (рис. 3 – пунктирные фазовые траектории). Но прежде чем принимать подобные административные решения, следует более глубоко разобраться в самих причинах этих колебаний. Так например, в системе «хищник – жертва», в которой наблюдаются периодические изменения численности популяций как результат самоорганизации, непродуманное вмешательство человека («администратора») может нарушить хрупкий баланс стационарного процесса и привести к непредсказуемым последствиям.

Приведенный выше анализ систем, поведение которых основано на процессах самосогласования параметров, с необходимостью приводят к выводу о том, что всякому принятию конструктивного решения должна предшествовать работа по построению прогностической модели эволюции (роста, накопления, развития и т. п.) этой самоорганизующейся системы. Ниже рассмотрим одну из таких моделей.

< Предыдущая		Следующая >