04. Показательные, Логарифмические, Обратные и тригонометрические функции

Если функция Y зависит от аргумента X, находящегося в показателе степени какого либо числа A, то такая функция называется Показательной и записывается следующим образом: Y =с Akx . (8)

С показательными функциями часто приходится иметь дело, рассматривая процессы эволюции, накопления, роста, распада и т. п., с чем мы встретимся несколько позже. Особенно важны при описании этих процессов частные случаи показательной функции, когда в качестве величины A берется иррациональное число Е ≈ 2,718282… (основание натуральных логарифмов). Функция вида Y = еKx Называется Экспоненциальной и в одну строку обозначается Y = еXp[Kx]. График этой функции называют экспонентой. Построим график показательной функции Y = 2X с помощью таблиц ее значений:

Y 0,03 0,06 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 32

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис.9. График показательной функции Y = 2X

Показательная функция приводит к Логарифмической функции, если форма зависимости переменных меняется. Возникает вопрос, как зависит аргумент X от функции Y, если Y(X) является показательной функцией от X?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением логарифма: Логарифмом числа Y по основанию A называется показатель степени X, в который надо возвести основание A, чтобы получить данное число Y. Коротко определение логарифма записывается так: X = LogA Y. Если попрежнему выражать функциональную зависимость как Y(X), то определение логарифма следует переписать в виде: Y(X) = LogA X . Такая форма записи означает, что существует показательноя функция, у которой основанием является число A, а показателем степени величина Y. Поэтому функция показательная должна быть записана следующим образом: X = AY. Сравнивая полученное выражение с записью показательной функции (8) при С = 1, K=1 замечаем, что произошла замена переменных X ↔ Y. На графике, приведенном на рис. 9, таким образом, логарифмическая зависимость будет совпадать с показательной функцией, у которой произведена замена переменных. Результат построения на одном графике показательной и логарифмической функций изображен на рис. 10. В качестве основания на графике выбрано число Е, а поэтому изображены экспоненциальная и соответствующая ей функция натурального логарифма.

Рис.10. Связь показательной (Ex) и логарифмической (Lnx) функций

Степенная функция приводит к Обратной функции, если показатель степени является отрицательной величиной. По правилам возведения в степень, отрицательный показатель означает, что переменная в степени попадает в знаменатель. Поэтому запись Y =Ax-N можно представить в виде дроби: Y =A/ Xn. Произведение степенной функции на соответствующую обратную функцию даст постоянную величину. Так например, в социально-экономических расчетах уже давно замечено, что при перераспределении денежных средств в государстве (по принципу социальной справедливости) процентная доля людей с большими доходами уменьшается, а доля людей с малыми – возрастает. При этом, произведение доходов R на соответствующий этим средствам процент населения (N) остается, как правило, постоянным (правило Парето): R·N = const. Обозначив константу единицей, получим, что функции R и N обратны друг к другу: R =1/N, а N = 1/ R. График обратной функции Y = 1/X (при Y>0, X>0) приведен на рис.11, а соответствующая кривая называется Гиперболой.

(?): Какие из известных Вам процессов также изображаются на графике в виде гиперболы?

Рис. 11. График функции Y = 1/X

Последний вид функций, которые имеют очень широкое распространение в реальной жизни, служит для описания периодических процессов. Они базируются на тригонометрических величинах синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые, в свою очередь, определяются с помощью равномерного движения точки по окружности. В социальной среде периодические процессы часто связаны с сезонными изменениями условий жизни, производства, климата и т. п. Согласование периодических процессов, происходящих с различной частотой или различными периодами является одной из наиболее сложных задач управления этими процессами в реальной жизни, поиском устойчивого развития производства, экономики, общества.

Выберем в качестве примера одну из Периодических функций

Y = Sin X, график которой с периодом Т = 2π представлен на рис. 12. Областью определения функции является x (-∞, ∞), а область значений функции y[-1, 1].

Рис.12. График функции Y = Sin X

< Предыдущая		Следующая >