03. Квадратичные и степенные функции
Доход, получаемый от продажи на рынке количества товара Q по цене P за единицу товара легко вычислить, умножая количество товара на его
Цену: R = PQ+ R0, где R0 Может означать величину дохода, полученного на предыдущем этапе. В то же время, сама цена P При различном спросе и
Предложении может являться функцией количества товара P(Q). Если эта функция является линейной, то есть P(Q)=AQ +B, То величина дохода в зависимости от количества товара, реализованного на рынке, запишется так:
R = PQ + R0 = AQ2 + BQ + R0. Абстрактно, полученный вид зависимости можно представить следующим образом: Y = Ax2 + Bx + C. (6)
Функция Y(X) называется Квадратичной по наибольшей степени аргумента X, равной двум. Если наибольшую степень аргумента в общем виде обозначить N (N ≥ 2), то функции от таких аргументов называют Степенными. При дробном показателе степени (N=1/2, 1/3, …) извлекается корень из переменной X, величина которого приводит к иррациональности для некоторых точек, то есть к невозможности записать соответствующее значение функции конечным числом цифр на всей области определения функции. Такие иррациональные функции называют Степенными функциями с дробными показателями степени.
Исследуем квадратичную функцию, как наиболее простую среди степенных функций. Построение конкретных графиков функций произведем по точкам, используя программу Excel.
Пример 1. y = 2x2. (рис.7)
y 0 2 8 18 32 50 …..
± x 0 1 2 3 4 5 ……
Рис. 7. График квадратичной зависимости при А = 2, B = 0, C = 0
Пример 2. y = 2x2 +4x – 1 (рис.8)
y 50 47 29 15 5 -1 -3 -1 5 15 29 47 50 …..
x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ……
Рис.8. График квадратичной зависимости при A=2, B=4, C = -1
Для вычисления точек пересечения графика функции с осью 0X необходимо решить квадратное уравнение 2x2 + 4x – 1 = 0 , так как только на этой оси значение функции y = 0. Тогда, по правилам поиска корней квадратного уравнения (см. справочник по математике), получим:
.
Из свойства симметричности графика (рис.8) следует, что минимальное значение функция принимает при x = (x2 + x1 )/2 = – 1, что хорошо подтверждается на графике. Кривая линия, графически представляющая квадратичную функцию, называется Параболой.
Для построения по точкам графика сложной (N ≥ 5) степенной функции
Y = A0x0+a1x1+a2x2+…+anxn (7)
При заданных коэффициентах Ai можно, как и выше, воспользоваться составлением обычной таблицы значений аргумента и функции.
При больших N полезно составить простую программу суммирования отдельных слагаемых в правой части функции, которая представляет собой многочлен N – й степени. Основная сложность представления функции заключается в том, что ее вид зависит от выбранного интервала значений аргумента. При X → ∞ функция приближается к параболе N – й степени: Y = Anxn . Это происходит в том случае, когда коэффициенты Ai меняются медленно. Поэтому при больших значениях аргумента Xn >> Xn-1 (символ >> означает «намного больше») и остальными слагаемыми многочлена можно пренебречь.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
