14. Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Начнем изучение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с Однородных уравнений второго порядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах, в инженерной практике, в исследовании процессов и систем все часто строится на анализе систем, моделями которых служат линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Вспомним, например, что вся механика строится на втором законе Ньютона, который можно записать в виде дифференциального уравнения второго порядка. Основные элементарные функции являются решениями уравнений первого и второго порядков. Экспонента является решением уравнения , - решения уравнения .

Рассмотрим Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Будем искать его решение в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение, получим

Так как то имеем

- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни

Возможно три случая:

1) Действительны и различны,

2) - комплексно сопряженные корни,

3) - действительный кратный корень.

В случае Действительных, различных корней получаем решения

Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и Общее решение записывается в виде

Надо проверить линейную независимость . Составим определитель Вронского

, так как

Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что . Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и . В нашем случае при .

В случае Комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера получим комплексно сопряженные решения . Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то являются решениями. Они линейно независимы, так как .

Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле

В случае Кратного действительного корня Одно из решений можно выбрать в форме .

Второе решение будем выбирать в виде . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить .

Так как - корень характеристического уравнения, то . Так как еще и кратный корень, то по теореме Виета . Поэтому . Для определения имеем уравнение , отсюда . Выберем , получим .

Следовательно, . Решения Линейно независимы, так как .

Поэтому Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня Можно записать по формуле

Примеры. 1)

Рассмотрим теперь Линейное однородное дифференциальное уравнение - го порядка с постоянными коэффициентами.

Будем искать его решение в виде . Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получим Характеристическое уравнение

Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородного уравнения. Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.

Если среди корней характеристического уравнения Есть простой действительный корень , то ему соответствует частное решение в фундаментальной системе решений и слагаемое В .

Если все корни характеристического уравнения Действительны и различны, то соответствующие им частные решения будут равны . Покажем, что эти решения линейно независимы. Составим определитель Вронского

Полученный определитель известен в алгебре как определитель Вандермонда, он равен нулю только, когда какие-либо из корней совпадают.

Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно, решения линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтому

Если среди корней имеется действительный корень кратности R, то ему соответствуют частные решения

, , , ... и группа слагаемых в общем решении

Если среди корней имеется простая пара комплексно сопряженных корней , то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений и группа слагаемых в общем решении

Если среди корней имеется пара комплексно сопряженных корней , кратности R, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений ... и группа слагаемых в общем решении

Примеры.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение N –го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема о наложении частных решений.

Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью ,

- решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью .

Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:

По теореме о структуре решения неоднородного уравнения . Общее решение однородного уравнения мы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можно воспользоваться доказанной теоремой. Если правая часть представляет собой сумму функций, то можно искать частные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, а затем сложить найденные частные решения.

Метод подбора формы частного решения.

Рассмотрим сначала уравнение второго порядка

1) Пусть правая часть представляет собой квазиполином .

Ищем частное решение в виде . Здесь - полином n-ой степени, - полином, степень которого надо определить.

, .

А) Если - не корень характеристического уравнения, то , и многочлен надо выбирать той же степени, что и , т. е. степени n.

Б) Если - простой корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т. е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+1. Однако при дифференцировании производная свободного члена (постоянной) равна нулю, Поэтому можно выбирать в виде =.

В) Если - кратный корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т. е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+2. Однако при двукратном дифференцировании производная не только свободного члена равна нулю, но и производная линейного члена равна нулю. Поэтому можно выбирать в виде =.

Пример.

, - не корень характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в том же виде, что и правая часть, . Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью .

. Корень содержится один раз среди корней характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде .

Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью .

Суммируя оба частных решения, получаем частное решение неоднородного уравнения для исходной правой части:

Общее решение неоднородного уравнения будет

2) Правая часть имеет вид

A) Если не корни характеристического уравнения, То частное решение ищется в том виде, в котором задана правая часть:

Где - полиномы степени m – максимальной из степеней полиномов .

Б) Если - пара корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

Пример.

Пара корней = - пара корней характеристического уравнения.

Подставляем в неоднородное уравнение, получаем

, откуда

Рассмотрим Неоднородное уравнение N-го порядка, покажем, как в нем применять метод подбора формы частного решения.

Здесь ситуация сложнее, так как в характеристическом уравнении n корней, действительные корни и комплексно сопряженные, простые и кратные корни.

1) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид

A) Если Не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть .

B) Если - Корень характеристического уравнения R-ой кратноСти, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде .

2) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид

А) Если пара комплексно сопряженных корней Не является корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть

, где степень m многочленов – максимальная из степеней многочленов .

B) Если пара комплексно сопряженных корней Является корнями характеристического уравнения R-ой кратности, То частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

Пример.

. Содержится в корнях характеристического уравнения 2 раза, поэтому . Подставляя это частное решение в неоднородное уравнение с правой частью , получим

. Корни Не содержатся в корнях характеристического уравнения, поэтому . Подставляя это частное решение в неоднородное уравнение с правой частью , получим .

Пример.

Содержится в корнях характеристического уравнения 3 раза, поэтому .

. Корни (пара корней) содержатся в корнях характеристического уравнения один раз, поэтому . Неопределенные коэффициенты определяются, как и выше, подстановкой в уравнение и сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x, при sinx, cosx, xsinx, xcosx.

< Предыдущая		Следующая >