6.3. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба

Пусть функция дифференцируема дважды в интервале . Проведем касательную к графику функции в точке , ее уравнение имеет вид

.

Обозначим правую часть уравнения : .

Определение 1. Функция называется Выпуклой вверх (Выпуклой вниз - Вогнутой) на , если

.

Теорема. Если функция дважды дифференцируема на интервале и , то она выпукла (вогнута) на .

Доказательство. Применим к разности теорему Лаг-ранжа дважды

При имеем . Поэтому знак разности совпадает со знаком , что записывают так:

.

Поэтому, если на , то - выпуклость, если , то - вогнутость.

Определение 2. Если разность меняет знак при переходе через точку , то она называется точкой перегиба Функ-ции .

Необходимое условие в точке перегиба.

В точке перегиба функции либо , либо не существует .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для разности :

.

Поскольку , то . Чтобы знак разности изменился при переходе через точку следует положить .

Первое достаточное условие наличия перегиба.

Если функции дважды дифференцируема в окрестности точки и меняет знак при переходе через точку , то является точкой перегиба.

Доказательство. Применим к разности дважды теорему Лагранжа, получим . Откуда следует, что, если меняет знак при переходе через точку , то меняет знак разность .

Пример 1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки пере-гиба функции .

Составим уравнение :

.

Отсюда получим интервалы: .

Результаты удобно свести в таблицу

Интер-вал
Знак	+		-		+
	Вогнутость	перегиб	Выпуклость	Перегиб	Вогнутость

Из таблицы ясно видно, что точки являются точками перегиба.

Второе достаточное условие наличия перегиба.

Если функции дважды дифференцируема в окрестности точки и , то является точкой пере-гиба.

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для разности с учетом того, что :

.

При : . Посколь-ку величина меняет знак при переходе через точку , то разность также меняет знак. Откуда следует, что является точкой перегиба.

Пример 2. Найти точки перегиба функции .

Используем результаты примера 1

,

.

Откуда следует, что являются точками перегиба.

< Предыдущая		Следующая >