5.3. Формула Тейлора

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки дифференцируема раз в точке . Тогда имеет место, притом единственное, разложение в окрестности точки функции в сумму

. (1)

Здесь есть бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с .

Разложение (1) в сумму называется Формулой Тейлора.

Доказательство. Предположим, что существует многочлен приближающийся к функции

, (2)

. (3)

При имеем .

Дифференцируем (3) последовательно раз и каждый раз полагаем , получим

Сопоставляя с (2) и (3), находим

Что соответствует (1).

Обозначим остаточный член в формуле Тейлора . Остается показать, что при Для этого заметим, что

Это означает, что

Следствие. Полагая в формуле Тейлора , получим Формулу Маклорена

. (4)

Применяя формулу Маклорена к основным элементарным функциям, получим следующие разложения

Для вывода каждой из этих формул следует найти коэффициенты . Например, для функции имеем ; для функции имеем

Остаточный член в формуле (1) часто называют Формой Пеано. Его можно записать в форме Лагранжа

. (5)

Нестрого эту форму можно получить непосредственно из формулы Тейлора, распространив последнюю на случай . Тогда -й член разложения имеет вид , а остаточный член учесть заменой точки на точку .