4.09. Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция имеет производную на некотором множестве , то на этом множестве определена функция . Если эта функция дифференцируема в некоторой точке , тогда у нее существует производная, которая называется Второй производной или Производной второго порядка и обозначается:

Аналогично определяется производная любого порядка , а именно, по индукции .

Примеры:

и т. д.

Аналогично доказывается формула для косинуса.

и т. д.

Теорема. Пусть функции и раз дифференцируемы в некоторой точке , тогда существуют производные -го порядка функций в этой точке , причем

Где - число сочетаний из элементов по .

Вторая из формул носит название формулы Лейбница.

Доказательство теоремы проводится по индукции. При равенства очевидны. Предположим, что они выполняются при и докажем для случая .

Аналогично рассматривается доказательство формулы Лейбница

Перепишем равенство в виде

Во второй сумме обозначим

Учтем, что

Формально член записан при , а член при . Учитывая, что , получим

Следствие..

Пусть функция дифференцируема на некотором множестве , тогда у нее существует дифференциал , который рассмотрим как функцию только (т. е. фиксировано). Тогда,

Дифференциал от первого дифференциала в некоторой точке называется Вторым дифференциалом или Дифференциалом Второго порядка в этой точке и обозначается . Итак, , откуда следует обозначе-ние второй производной