4.01. Производная. Определение производной

Во многих прикладных задачах интересует не значение функции в точке, а ее изменение на некотором промежутке. Например, при деформации пружины интересует, не ее длина, а величина ее деформации; не значение энергии системы, а работа системы как изменение ее энергии, и т. д.

Возьмем две произвольные точки на оси , или говорят, два значения независимой переменной и . Обозначим . Величина называется Прираще-нием Независимой переменной (или Независимого аргумента) в точке . Аналогично, для функции имеем значения: и . Вели-чина называется Приращением зависимой переменной (или Приращением функции) в точке .

Определение 1. Если в точке существует предел (конечный или бесконечный)

, (1)

То этот предел называется Производной функции в точке . Обозначается:

Замечание. Если - произвольная точка множества , то () является функцией на множестве . В этом случае обозначают и () рассматривается как функция от пере-менной .

Определение 2. Если существует предел (1) функции слева (справа) в точке , то этот предел называется производной слева (справа) в точке и обозначается .

Теорема. Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда существуют односторонние производные и они равны .

Операция вычисления производной от функции в некоторой точке называется Дифференцированием Функции в этой точке.

Таблица производных

Выводится по определению производной .

1. , .

.

2. .

3. .

4. .

5. .

Следует из предыдущей формулы при .

6. , .

Применим формулу бинома Ньютона

Формула (6) оказывается справедливой не только для целых , но для действительных значений степени.

< Предыдущая		Следующая >