3.1. Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций
Определение 1. Функция называется Непрерывной в точке
, если она определена в точке
и существует предел
.
Теорема 1. Для того чтобы функция имела конечный предел в точке
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке.
Необходимость. Пусть , тогда
имеем
. Полагая
имеем
, т. е.
, следовательно, функция
непрерывна.
Достаточность. Пусть . Тогда, полагая
, получим
, т. е.
.
Замечание. По определению в точке функция не является непрерывной.
Определение 2. Функция называется Непрерывной слева (Справа) в точке
, если
.
Теорема 2. Для того чтобы функция была непрерывной в точке
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
.
Пример. Функция
Непрерывна в точке , т. к.
Имеют место равенства
.
Свойства непрерывных функций аналогичные свойствам пределов функций. Следует только значения пределов и
функций
и
в точке
заменить значениями
и
. Доказательства этих свойств проводится аналогично как для пределов функций.
Формы записи непрерывности:
1. По определению |
|
2. По Гейне |
|
3. По Коши |
|
4. В терминах приращений |
|
Последнее определение следует из первого
,
Где - называется Приращением функции
в точке
,
- Приращением аргумента
в точке
.
Теорема 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках определения этих функций.
В качестве примера рассмотрим только две элементарные функции. Так, функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки
, т. к.
имеем
.
Функция непрерывна на всей числовой оси, т. к.
имеем
.
Аналогично доказывается непрерывность остальных элемен-тарных функций.
< Предыдущая | Следующая > |
---|