1.05. Свойства пределов последовательностей

1. Единственность предела. У числовой последовательности может быть только один предел (конечный или определенного знака бесконечный или ).

Предположим, что последовательность имеет два различных предела . Выберем И так, чтобы . По определению предела : , а по определению предела : . Если , то одновременно и , что невозможно, т. к. множества и не пересекаются.

2. Предел постоянной: , .

В этом случае и Имеем .

3. «Теорема о двух милиционерах». Если и , то .

По определению предела : и : . Если , то одновременно и , а в силу неравенства и . Поэтому .

4. Если , и , то :

.

Из условия . Тогда , а . Это означает, что : .

Следствие. Если , , и , то .

Замечание. Следует обратить внимание на знак строго нера-венства , хотя в условии .

5. Арифметические операции над пределами.

Если , то

(), причем

Докажем только первое равенство. Если , то ; аналогично, если , то. Обозначив , имеем .

Следовательно, . Но, . Поэтому,

Доказательство второго и третьего равенств производится по аналогии, но сделаем это позже с использованием понятия бесконечно малой функции.

6. Ограниченность предела. Если , то и , такие, что при : , т. е. последовательность ограничена.

Из определения следует . Положим , получим при : . Обозначим через . Тогда .

< Предыдущая		Следующая >