1.1. Уравнение линии. Уравнение линии на плоскости. Линии в декартовой системе координат

Определение 1. Геометрическое место точек плоскости, коорди-наты которых в заданной декартовой системе удовлетворяют уравнению

(1)

Называется линией в этой системе координат.

Если (1) разрешимо относительно , то уравнение линии записывают в виде

.

Примеры:

1. Есть уравнение окружности радиуса с центром в точке .

В самом деле, расстояние между любой точкой окружности С центром равно радиусу окружности , т. е. . Откуда следует искомое уравнение.

В частности, если центр окружности в начале координат, то И уравнение имеет вид .

2. есть уравнение прямой.

3. есть уравнение единственной точки .

Замечание 1. Уравнение (1) не всегда определяет какой-либо гео-метрический образ.

4. Уравнение не определяет ника-кого геометрического образа, т. к. .

Определение 2. Линия называется Алгебраической, если функция в уравнении (1) является алгебраическим полиномом (т. е. является суммой конечного числа слагаемых вида , где - целые неотрицательные числа, а - некоторые действительные постоянные).

Алгебраическая линия называется линией порядка , если функция является полиномом -й степени. Так, окружность есть линия второго порядка, а прямая - линия первого порядка.

Всякая неалгебраическая линия называется Трансценден-тной.

Определение 3. Алгебраическая линия L называется распадаю-щейся на две линии и , если функция в уравнении (1) представляется в виде произведения .

В этом случае, линия имеет уравнение , а линия - уравнение . Например, линия четвертого порядка

Распадается на две окружности и , т. к.

.

Замечание 2. Важную роль в аналитической геометрии играет задача нахождения точек пересечения двух произвольных линий и . Для этого следует решить систему уравнений

Если же система несовместна, то линии и не пересекаются. Например, точками пересечения двух окружностей и являются точки и . В самом деле, вычтем из первого уравнения второе, получим ; тогда из первого или второго уравнения находим .

Следующая >