7.6. Числовые ряды с произвольными по знакам слагаемыми

Пусть ряд - числовой ряд с произвольными по знакам слагаемыми. Наряду с этим рядом рассмотрим положительный числовой ряд , то есть ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда . Справедлива следующая Теорема:

1. Если ряд сходится, то автоматически сходится и ряд , причем сходимость последнего называется Абсолютной.

2. Ряд может сходиться несмотря на то, что ряд расходится. Тогда сходимость ряда называется Условной.

Доказательство. Пусть

(1.36)

- N-ые частичные суммы рядов и соответственно. Для указанных частичных сумм, очевидно, имеем:

; (1.37)

Здесь - сумма положительных слагаемых, входящих в , а - сумма модулей отрицательных слагаемых, входящих в . Положительные суммы и , очевидно, растут с увеличением N.

1) Если ряд сходится, то - конечное положительное число, являющееся суммой ряда . Но , поэтому и . А так как возрастающая с номером частичная сумма при любом N меньше своего предела , то и растущие с номером N величины И тоже при любом номере N меньше . По теореме Вейерштрасса (§1, глава 3) приходим к выводу, что при N® ∞ величины и имеют некоторые конечные положительные пределы и , каждый из которых меньше , но которые в сумме составляют :

(1.38)

Но тогда

(1.39);

- конечное число. А это значит, что и ряд сходится. Пункт 1 теоремы мы доказали.

2) Если ряд расходится, то его сумма . Это значит, что по крайней мере одна из положительных сумм и равна +∞ (одна или обе). Но их разность не обязательно будет бесконечной: в случае, когда и , сумма (сумма ряда ) может оказаться и конечной. То есть, ряд может оказаться сходящимся несмотря на то, что ряд из его модулей будет расходящимся. В таком случае ряд будет сходиться, но условно.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды кардинально различаются по характеру своей сходимости. А именно, любая перестановка слагаемых в абсолютно сходящемся ряду не меняет его суммы. А вот если ряд сходится условно, то за счет соответствующей перестановки слагаемых его сумму можно сделать какой угодно.

Действительно, если ряд сходится абсолютно, то сумма Его положительных слагаемых и сумма модулей его отрицательных слагаемых – два конечных положительных числа. При любой перестановке слагаемых эти суммы не меняются, а следовательно, не меняется и сумма всего ряда. А вот если ряд сходится условно, то и , а - конечное число. Но тогда имеется возможность отдельно из положительных и отдельно из отрицательных слагаемых ряда набрать любую сумму. А значит, и итоговую сумму всего ряда можно сделать какой угодно.

Пример 11. Знакочередующийся ряд

(1.40)

Сходится по признаку Лейбница. Но сходится условно, так как ряд

, (1.41)

Составленный из модулей ряда (1.40), расходится ((1.41) – гармонический ряд). Значит, у данного знакочередующегося ряда (1.40) есть конечная сумма S

, (1.42)

Но эту сумму можно изменить за счет перестановки слагаемых ряда.

Подтвердим это. Для этого переставим слагаемые ряда так, чтобы в нем после одного положительного слагаемого следовали два отрицательных:

(1.43)

Как видим, такая перестановка слагаемых ряда привела к уменьшению его суммы в два раза.

Такое необычное поведение условно сходящегося ряда (1.40), как и вообще всех условно сходящихся рядов, связано с тем, что его сходимость обусловлена не высокой скоростью убывания слагаемых (как это имеет место у абсолютно сходящихся рядов), а лишь взаимной компенсацией медленно убывающих чередующихся положительных и отрицательных слагаемых. При перестановке слагаемых нарушается эта взаимная компенсация слагаемых ряда, а следовательно, меняется и его сумма.

Упражнения

1. Выполняется ли для ряда

Необходимое условие сходимости? Какова сумма S этого ряда?

Ответ: Не выполняется; S = +∞.

2. Записать несколько первых членов ряда . Показать, что этот ряд сходится. Сколько членов ряда нужно просуммировать, чтобы найти его сумму с точностью до 0,01? Найти эту сумму S с указанной точностью.