6.06. Однородные дифференциальные уравнения

Это – дифференциальные уравнения вида

(3.6)

Такие уравнения сводятся к уравнениям (3.3) с разделяющимися переменными после введения новой известной функции . Действительно, пусть

тогда (3.7)

С учетом равенств (3.7) уравнение (3.6) примет вид:

(3.8)

А это - уравнение вида при и , то есть уравнение с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции . Найдя все его решения , затем по формуле найдем и все решения Исходного уравнения (3.6).

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Сначала убедимся в том, что это действительно дифференциальное уравнение первого порядка, а заодно и определим его тип:

Это – уравнение вида , то есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения введем вместо новую известную функцию :

; тогда , а

С учетом этого наше дифференциальное уравнение причем вид:

.

Это – уравнение вида при и , то есть уравнение с разделяющимися переменными. Решим его по соответствующей таким уравнениям схеме (как в примере 1).

1) .

Итак, одно частное решение уже найдено: это функция .

2) Найдем общее решение уравнения , содержащее все его остальные частные решения:

| разделяем переменные и |

| интегрируем обе части |

Это – общее решение уравнения . Заметим, что найдено в пункте 1 частное решение этого уравнения не получается из общего решения ни при каком значении С. Следовательно, – это особое решение указанного уравнения.

Ну а теперь, найдя все функции и учитывая, что , можем записать и все функции , то есть все решения исходного дифференциального уравнения:

- общее решение; – особое решение.

< Предыдущая		Следующая >