6.05. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это – дифференциальные уравнения вида

(3.3)

Решение таких уравнений производится по следующей схеме.

1) Сначала находим такие числовые значения , при которых

(3.4)

Функции являются, очевидно, частными решениями уравнения (3.3), ибо при подстановке каждой из них в это уравнение получим тождество 0=0.

2) Теперь находим все остальные решения уравнения (3.3), для которых . Делаем это по схеме:

| разделим выражения с Х и У (разделим переменные Х и У)) |

| интегрируем обе части |

(3.5)

Полученное равенство представляет собой общее решение уравнения (3.3) в неявном виде (его общий интеграл). Если в нем можно выразить , приводим его к явному виду.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение – уравнение вида при и , то есть это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его по изложенной выше схеме.

1) .

Итак, одно частное решение уравнения уже найдено: это функция .

2) Найдём по схеме (3.5) общее решение этого уравнения, содержащее все его остальные частные решения:

| разделяем переменные Х и У|

| интегрируем обе части |

| неопределенную константу Опять обозначим буквой С |

Последнее равенство и есть искомое общее решение в явном виде. Отметим, что при С=0 из него получается и найденное в пункте 1 частное решение . Таким образом, общее решение уравнения содержит все его частные решения.

< Предыдущая		Следующая >