4.24. Примеры использования производных функций в экономике

В § 1 был указан смысл производных некоторых экономических функций. Эти производные выражают собой так называемые предельные (маржинальные) величины. А именно, если – некоторая функция, имеющая экономический смысл, то – предельное (маржинальное) значение Y В точке х. Оно характеризует скорость изменения величины При изменении величины . В частности, оно может быть предельной производительностью труда, предельной себестоимостью продукции, предельным доходом от продаж, и т. д.

Пример 1. Опытным путем установлено, что объем Q продукции, производимой на некотором предприятии одним среднестатистическим рабочим в течение рабочей смены (8 часов), определяется формулой:

()

Здесь T – время в часах. Требуется установить зависимость производительности труда рабочего от времени и построить график этой зависимости.

Решение.

()

Графиком этой зависимости Y от T является парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 4.22). Приведенный график показывает, что производительность труда в первые три часа работы возрастает (с 5 до 6,35 единиц продукции в час), а потом монотонно падает, и к концу рабочего дня составляет лишь 2,6 единиц продукции в час.

Через производную функции выражается еще одно важное экономическое понятие – Эластичность функции.

Определение. Эластичностью функции относительно аргумента X называется предел отношения относительного приращения функции (в %) к относительному приращению аргумента (в %) при приращении аргумента, стремящемся к нулю. То есть

(7.1)

Эластичность функции Y относительно ее аргумента X показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении ее аргумента на 1 %.

А) Если , то есть если или , то функция считается Эластичной в точке X.

Б) Если , то есть если , то функция считается Неэластичной в точке x.

В) Если , то есть если или , то говорят, что функция имеет в точке X Единичную эластичность.

Функция, эластичная (неэластичная) в каждой точке X некоторого интервала оси Ох, называется эластичной (неэластичной) на этом интервале.

Эластичная функция изменяется (растет или убывает) относительно быстрее изменения ее аргумента. Неэластичная функция, наоборот, меняется относительно медленнее изменения ее аргумента. Функция единичной эластичности изменяется с той же относительной скоростью, что и ее аргумент.

Направление изменения функции зависит от знака ее эластичности. В частности, если X и Y – положительны, что обычно и бывает в экономических задачах, то знак , согласно (7.1), определяется знаком производной функции . И если , то . А это значит, что функция растет с ростом X. А если , то , и функция убывает с ростом X.

< Предыдущая		Следующая >