4.10. Физический смысл производной второго порядка

Если – уравнение движения точки по ее траектории (см. рис. 4.3), то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость V(X) движения точки (мгновенную скорость движения) – см. (1.7). Но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

(2.12)

– ускорение движения точки в момент X. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Пример 17. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент , имеет вид: (S – путь, пройденный падающим телом за время T). Найдем скорость и ускорение падающего тела:

;

То есть ускорение A падающего тела неизменно и равно G – ускорению свободного падения ( м/сек2). А скорость V падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле .

Упражнения

1. Найти угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к параболе в точке .

Ответ: .

2. Найти на параболе такую точку , чтобы касательная к параболе, проведенная в этой точке, составила с осью Ох угол .

Ответ: .

3. В момент времени найти скорость V и ускорение A точки, движущейся по оси Ох по закону .

Ответ: ; .

4. Количество Y произведенной за время T продукции описывается функцией . Найти производительность труда предприятия.

Ответ: (ед. продукции за ед. времени).

5. Функция определяет зависимость себестоимости продукции y (в рублях) от объема x выпускаемой продукции (в некоторых единицах). Найти предельную себестоимость продукции.