2.1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса

Решение различного рода систем уравнений – классическая и часто возникающая (в том числе и в экономике) математическая проблема. В данном параграфе мы остановимся на простейших из систем – На системах линейных уравнений. Именно они чаще других находят применение в экономике (да и не только в ней).

Системой линейных уравнений называется система вида:

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = b1

A21X1 + a22X2 +… + a2NXn = b2 (1.1)

- - - - - - - - - - - - - - -

am1X1 + am2X2 +… + amnxn = bm

В этой системе M уравнений с N неизвестными (X1; X2; …Xn). А линейными уравнения, входящие в систему (1.1), называются потому, что неизвестные (X1; X2; …Xn) этих уравнений входят в них в первой степени (линейно). То есть аналогично тому, как входят в линейную функцию величины X и Y.

Систему (1.1) можно записать и в сжатой (сокращенной) форме, используя знак суммирования å:

(I = 1, 2,… M) (1.2)

Числа Aij (I = 1, 2,… M; J = 1, 2,… N) – заданные коэффициенты при неизвестных Xj (J = 1, 2,… N); числа Bi (I = 1, 2,… M) – так называемые свободные члены системы, которые тоже заданы.

Определение. Любой набор значений неизвестных (X1; X2; …Xn), удовлетворяющих всем уравнениям системы, называется ее решением (частным решением). Система считается решенной, если найдены Все ее решения (или доказано, что никаких решений у нее нет).

В частности, если все свободные члены системы {B1; B2; …Bm} равны нулю, то система (1.1) принимает вид

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = 0

A21X1 + a22X2 +… + A2NXn = 0 (1.3)

- - - - - - - - - - - - - - -

Am1X1 + Am2X2 +… + Amnxn = 0

И называется Линейной однородной системой (а все прочие системы (1.1) являются Линейными неоднородными). Любая линейная однородная система (1.3) по крайне мере одно решение заведомо имеет. И это решение очевидно: {X1= 0; X2= 0; …Xn= 0}. Это так называемое нулевое (Тривиальное) решение. Тривиальное решение у однородной системы (1.3) может оказаться единственным. Но не исключено, что у неё есть и другие (нетривиальные) решения. Сколько всего решений у различных систем линейных уравнений может быть и как их найти – об этом ниже.

Детальное рассмотрение систем линейных уравнений начнем с наиболее простой из них – с системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. То есть с системы вида:

(1.4)

Сколько решений (X; Y) у этой системы может в принципе быть, и как их найти? Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев процесс решения системы.

Решать систему (1.4) наиболее удобно самым очевидным путем – последовательным исключением неизвестных (методом Гаусса). Этот метод состоит в следующем. Выразив из первого уравнения системы (1.4) одну неизвестную через другую (например, Y через X) и подставив ее во второе уравнение, после приведения подобных получим в итоге линейное уравнение вида Ax = B с одним неизвестным X. При этом возможны три варианта:

1) . Тогда из уравнения Ax = B однозначно находится X: , а затем по этому X однозначно находится и Y. В итоге получим единственное решение (X; Y) системы (1.4).

2) A = 0, . Тогда уравнение Ax = B оказывается противоречивым (не имеет решений). А вместе с ним не имеет решений и система (1.4).

3) A = 0, B = 0. Тогда уравнение Ax = B принимает вид и удовлетворяется при любых X. При этом для каждого конкретного значений X найдется и соответствующее ему конкретное значение Y. В итоге будем иметь бесчисленное множество (X; Y) системы (1.4).

Итак, система (1.4) в принципе может:

А) иметь одно решение;

Б) не иметь решений;

В) иметь бесчисленное множество решений.

Первый из этих случаев (единственное решение) будет осуществляться как правило. А второй и третий – как исключения. Действительно, лишь когда в уравнении Ax = B величина A окажется равной нулю, будет иметь место либо второй, либо третий случай. Во всех остальных вариантах, когда , будет иметь место первый случай.

Полученные выше выводы имеют и ясную геометрическую интерпретацию. Действительно, каждое из двух уравнений системы (1.4) представляет собой уравнение вида , а следовательно, представляет собой уравнение прямой на плоскости. Значит, решая эту систему, мы определяем на плоскости координаты (X; Y) точек пересечения некоторых двух прямых. Но таких точек у двух прямых, очевидно, может быть:

А) одна (когда прямые пересекаются);

Б) ни одной (когда прямые параллельны);

В) бесчисленное множество (когда прямые совпадают).

Соответственно этим случаям система (1.4) будет иметь или одно решение, или ни одного, или бесчисленное множество. При этом для произвольно взятых прямых случай (а) будет, очевидно, осуществляться как правило, а случаи (б) и, особенно, (в) – как исключение.

Пример 1. Найти точки пересечения прямых и .

Решение. Для нахождения этих точек составим и решим систему из уравнений указанных прямых.

Как выяснилось, данная система имеет единственное решение (; ). Значит, указанные выше прямые пересекаются в единственной точке – точке .

Пример 2. Решить систему уравнений

И дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

Решение.

– нет решений, ибо последнее уравнение остается неверным независимо от значений неизвестных Х И У. Геометрически полученный результат означает, что прямые с уравнениями и параллельны. Это подтверждается и равенством их угловых коэффициентов K1 и K2:

; K1 = 1,5

; K2 =1,5

Пример 3. Решить систему уравнений

И дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

Решение.

–

– бесчисленное множество решений. Действительно, второе уравнение системы, из которого должно было быть определено значение X, привело к правильному числовому равенству 2=2, верному независимо от X (X сократилось и исчезло из уравнения). Следовательно, величина X может быть любой. А другая неизвестная Y, если выбрано значение X, найдется по первому уравнению . В итоге получаем бесчисленное множество решений системы. Например, таких:

1) ; 2) ; 3) ; …

Все эти решения являются координатами точек пересечения тех двух прямых, уравнения которых входят в исходную систему. В силу бесчисленного количества таких точек указанные прямые совпадают.

Да, но тогда должны совпадать и их уравнения! И это действительно так: умножая на 2 обе части уравнения первой прямой, получим равносильное уравнение , полностью совпадающее с уравнением второй прямой.

Вопрос о решении системы (1.4), являющейся простейшей из систем линейных уравнений, мы исчерпали. Перейдем теперь к общему случаю (1.1), но только пока при условии, что , то есть при условии, что количество уравнений системы равно количеству ее неизвестных. Иначе говоря, перейдем к квадратным системам произвольного размера N´ N (N = 3, 4,…), то есть К системам N-го порядка вида

a11X1 + a12X2 +… + a1NXn = b1

A21X1 + a22X2 +… + a2NXn = b2 (1.5)

- - - - - - - - - - - - - - -

an1X1 + an2X2 +… + annxn = bn

Заметим, что при небольших N (при небольших значениях порядка системы (1.5)) неизвестные системы можно обозначать не (X1; X2; …Xn), а, например, (X; Y; Z;…). Но это, естественно, не принципиально.

Систему (1.5) произвольного порядка N, как и простейшую систему (1.4) второго порядка, наиболее естественно и просто решать методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). А именно, из первого уравнения системы выражаем какую-либо неизвестную, например X1, через остальные неизвестные (X2; X2; …Xn)

И подставляем ее во все остальные уравнения системы (второе, третье, … N-е). В итоге во всех уравнениях системы, начиная со второго, будет уже на одну неизвестную (неизвестную X1) меньше. Далее, из второго уравнения выражаем следующую неизвестную X2 через оставшиеся неизвестные (X3; X4; …Xn)

И подставляем ее во все ниже лежащие уравнения (третье, четвертое, … N-е). Ну и так далее до конца. В итоге, если не возникнет сбоев в этой схеме (каких – скажем ниже) мы преобразуем систему (1.5) к следующему равносильному треугольному виду:

(1.6)

Преобразование квадратной системы (1.5) к равносильной ей треугольной системе (1.6) называется Прямым ходом метода Гаусса.

Примечание. Мы указали лишь идею прямого хода метода Гаусса, цель которого – последовательно исключение неизвестных из уравнений системы. На практике же этой цели можно добиться и несколько иначе, причем значительно проще.

Например, чтобы исключить неизвестную X1, содержащуюся в первом уравнении системы (1.5), из второго уравнения, можно обе части первого уравнения разделить на A11, затем обе его части умножить на –A21, и после этого первое уравнение сложить со вторым. В итоге неизвестная X1 во втором уравнении исчезнет (исключится). Аналогично можно исключить неизвестную X1 и из остальных уравнений системы (третьего, четвертого, …, последнего). Далее, по аналогичной схеме, с помощью второго уравнения можно исключить из всех нижележащих уравнений неизвестную X2. И так далее до конца. В итоге мы опять придем к треугольной системе типа (1.6), но только существенно быстрее.

Кстати, неизвестную, исключаемую из других уравнений системы, часто называют Опорной неизвестной, а уравнение, содержащее эту опорную неизвестную и с помощью которого исключается эта опорная неизвестная из других уравнений системы, называется Опорным уравнением. И опорное уравнение, и опорную неизвестную удобно, для наглядности, подчеркивать.

И еще одно существенное замечание: в качестве опорной неизвестной, выбираемой на каждом этапе прямого хода метода Гаусса, удобно выбирать ту, перед которой нет числового коэффициента – только знак (+) или (–). В этом случае треугольная система типа (1.6) будет иметь другой порядок расположения неизвестных, что, конечно, не принципиально.

Пойдем далее. Будем считать, что мы (в той или иной форме) реализовали прямой ход метода Гаусса, сбоев в этой работе не было (осуществился так называемый Стандартный вариант), и нам удалось привести исходную систему (1.5) к равносильной системе типа (1.6) (или такой же, как (1.6), системе, только с другим порядком расположения неизвестных). После этого система (1.6) решается уже просто с помощью Обратного хода метода Гаусса.

Суть его в следующем. Последнее уравнение сразу дает значение неизвестной . Далее, из предпоследнего уравнения, используя найденное значение, вычисляем значение . Потом из третьего снизу уравнения, используя найденные и , находим . Двигаясь таким образом снизу вверх и дойдя до первого уравнения, последовательно определим все неизвестные системы (1.6), а значит, и неизвестные равносильной ей системы (1.5). Набор найденных значений всех неизвестных оказывается единственным, а значит, единственным окажется и полученное в итоге решение {X1; X2; …Xn} системы (1.5).

Все это будет в стандартном варианте. Но возможны и два варианта нестандартных, когда появляются сбои в изложенной выше схеме.

Нестандартный вариант 1. На каком-то этапе осуществления прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы (или даже в нескольких уравнениях) могут исчезнуть (сократиться) все неизвестные, кроме свободных чисел, которые образуют неверное равенство типа , и т. д. Так как в этом уравнении нет неизвестных, то и невозможно сделать его верным за счет какого-то подбора неизвестных. Система, содержащая хотя бы одно такое уравнение, не имеет решений. А значит, не будет иметь решений и исходная система (1.5).

Нестандартный вариант 2. Этот вариант, в отличие от первого нестандартного варианта, будет иметь место, если на каком-то этапе прямого хода метода Гаусса в каком-то из уравнений системы все его члены сократятся, и останется верное числовое равенство . Это, кстати, может случиться и с несколькими уравнениями системы. Отбросив их, мы получим систему, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных (получим так называемую Недоопределенную систему). Кстати, если в системе окажется два или более одинаковых уравнения, то отбросив из дублирующих друг друга уравнений все, кроме одного, мы также получим недоопределенную систему.

Завершив прямой ход метода Гаусса в недоопределенной системе, в последнем уравнении системы мы будем иметь не одну неизвестную (как это получается в стандартном варианте (1.6)), а две или более. Это последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений, ибо в нем все неизвестные, кроме одной, можно задать произвольно (это – так называемые Свободные неизвестные), а оставшаяся неизвестная (Связанная) уже однозначно выражается через свободные неизвестные. После этого в процессе обратного хода метода Гаусса можно однозначно выразить через свободные неизвестные и остальные неизвестные системы (остальные связанные неизвестные). В итоге мы получим бесчисленное множество решений исходной системы.

Итак, подведем итог. Квадратные системы линейных уравнений вида (1.5) при любом их порядке N (N = 2,3,…) могут в принципе:

1) Иметь единственное решение (стандартный вариант).

2) Не иметь решений (нестандартный вариант 1).

3) Иметь бесчисленное множество решений (нестандартный вариант 2).

Стандартный вариант на практике встречается как правило, нестандартные – как исключения.

Пример 1. Решить квадратную систему 3-го порядка

Решение. Применим метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) по схеме, указанной в примечании выше. Опорное уравнение и опорную неизвестную на каждом шаге прямого хода этого метода будем подчеркивать.

А) Прямой ход:

Б) Обратный ход:

Итак, у данной системы оказалось единственное решение (; ; ). Если подставить эти значения неизвестных в уравнения исходной системы, то можно убедиться в том, что все уравнения превращаются в верные числовые равенства. То есть решение системы найдено верно.

Пример 2. Решить систему

Решение.

А) Прямой ход метода Гаусса:

По второму уравнению получившейся системы ясно, что система не имеет решений. Это и отмечено значком («нет решений»).

Пример 3. Решить систему

Решение. Данная система 3-го порядка однородная, так как столбец ее свободных членов состоит из одних нулей. Значит, по крайней мере, одно решение она заведомо имеет – это тривиальное решение (; ; ). Поищем возможные другие ее решения. Применим метод Гаусса.

А) Прямой ход:

Б) Обратный ход:

Таким образом, у системы оказалось бесчисленное множество решений. В их число (при ) входит и тривиальное решение (; ; ).

Вопрос о квадратных системах линейных уравнений мы исчерпали. Перейдем, наконец, к общему случаю (1.1), когда в системе любое число M уравнений и любое число N неизвестных, причем, вообще говоря, . То есть перейдем к так называемым Прямоугольным системам. Естественно, следует рассмотреть и случай , и случай .

Случай M > N (количество уравнений больше количества неизвестных). Такие системы называются Переопределенными. Они, как правило, не имеют решений. Но, как исключение, они могут иметь единственное решение и даже бесчисленное множество решений. Проиллюстрируем это на примере трех уравнений с двумя неизвестными.

(1.7)

Если в этой системе отбросить какое-то (любое) уравнение, то получим квадратную систему вида (1.4) из двух уравнений с двумя неизвестными. Такая система, как мы знаем, как правило, имеет единственное решение (X; Y). Но третье (отброшенное) уравнение при этих (X; Y) вряд ли удовлетворится, если только оно не является следствием двух других уравнений. А значит, как правило, переопределенная система (1.7) из трех уравнений не будет иметь решений. Но если все же отброшенное уравнение системы (1.7) является следствием двух оставшихся, то тогда каждое решение системы из этих двух оставшихся уравнений будет и решением переопределенной системы (1.7). То есть у нее может быть и одно решение, и даже бесчисленное множество решений.

Все сказанное выше о системе (1.7) становится предельно ясным, если мы учтем, что каждое из уравнений этой системы – это уравнение прямой на плоскости. А значит, решая систему (1.7), мы ищем координаты (X; Y) общих точек трех прямых на плоскости. То есть ищем координаты точек, в которых пересекаются сразу три прямые. Но таких точек у трех произвольных прямых, скорее всего, не будет. А значит, скорее всего, система (1.7) не будет иметь решений.

Однако три прямые на плоскости все-таки могут пресекаться в одной точке, а значит, система (1.7) может иметь решение (X; Y), определяющее координаты этой точки. Более того, все три прямые могут и совпадать. Тогда у них бесчисленное количество общих точек, а значит, в этом случае система (1.7) будет иметь бесчисленное множество решений. Этими решениями будут координаты (X; Y) точек всех трех совпадающих прямых.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений

Решение. Данная система является переопределенной (в ней три уравнения и лишь две неизвестные). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, не будет иметь решений. Так ли это, выясним с помощью метода Гаусса:

Система действительно не имеет решений, так как два последних ее уравнения противоречат друг другу.

Случай M < N (количество уравнений меньше количества неизвестных). Такие системы, как уже указывалось выше, называются Недоопределенными. Они, как правило, имеют бесчисленное множество решений. А в виде исключения могут совсем не иметь решений. Вариант единственного решения для таких систем исключается.

Проиллюстрируем сказанное на примере двух уравнений с тремя неизвестными.

(1.8)

Применяя к ней метод Гаусса, можем с помощью первого уравнения исключить какую-либо неизвестную из второго уравнения системы. Но все равно, вообще говоря, во втором уравнении останутся две неизвестные. Одну из них можно объявить свободной (она может принимать любые значения), тогда другая (связанная) неизвестная однозначно выразится через свободную. А затем из первого уравнения системы (1.8) однозначно выразится через свободную неизвестную и оставшаяся третья неизвестная (тоже связанная). В итоге получим бесчисленное количество решений недоопределенной системы (1.8).

Может случиться и так, что после исключения какой-то неизвестной из второго уравнения системы в нем остались не две, а одна неизвестная. Тогда эта неизвестная найдется однозначно. Но после подстановки этой неизвестной в первое уравнение системы в этом первом уравнении окажется две неизвестных, одну из которых (любую) можно считать свободной. В итоге, очевидно, опять получим бесчисленное множество решений.

Наконец, во втором уравнении системы (1.8) после исключения из него какой-то неизвестной могут заодно исключиться и две другие неизвестные, так что оно примет вид числового равенства – верного типа или неверного типа . Второй из этих двух случаев будет, очевидно, означать, что система (1.8) не имеет решений. А первый – что все три неизвестные этой системы должны быть найдены из одного ее первого уравнения, ибо ее второе уравнения – прямое следствие первого. В этом первом уравнении две неизвестные из трех оказываются свободными, одна связанная, а система (1.8) в этом случае, естественно, имеет бесчисленное множество решений.

Ситуацию с решениями недоопределенной системы (1.8) и с их количеством можно очень наглядно проиллюстрировать геометрически. Как известно еще из школьного курса математики, уравнение вида является Уравнением плоскости в пространстве. В нем (X; Y; Z) – это координаты точек этой плоскости. Поэтому, решая систему (1.8), мы ищем координаты (X; Y; Z) общих точек (точек пересечения) двух плоскостей в пространстве. Но таких точек (а значит, и решений системы (1.8)) может в принципе быть:

А) бесчисленное множество (плоскости пересекаются или совпадают);

Б) не быть вообще (плоскости параллельны).

Пример 5. Решить систему

Решение. Данная система является недоопределенной (в ней три неизвестные и лишь два уравнения). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, будет иметь бесчисленное количество решений. Одно из них, в силу однородности системы, очевидно – это тривиальное решение (; ; ). Найдем остальные решения.

Получили, как и ожидали, бесчисленное количество решений. Его можно представить и в более удобной симметричной форме, если ввести обозначение (T – свободный параметр). Тогда получим окончательно

(T – произвольная (свободная) величина)

В этом множестве решений, заметим, содержится и тривиальное решение – оно получается при .

Итак, все варианты, которые могут встретиться при решении систем линейных уравнений (1.1), мы рассмотрели. Подведем

Общий итог.

Любая система линейных уравнений (1.1) (с любым количеством уравнений и любым количеством неизвестных) может, в принципе:

А) иметь единственное решение;

Б) не иметь решений;

В) иметь бесчисленное множество решений.

При этом квадратные системы (у которых количество уравнений равно количеству неизвестных) имеют, Как правило, одно решение.

Системы, у которых количество уравнений больше количества неизвестных (переопределенные системы), Как правило, не имеют решений.

Системы, у которых количество уравнений меньше количества неизвестных (недоопределенные системы), Как правило, имеют бесчисленное множество решений.

Окончательно вопрос о количестве решений и о самих решениях каждой конкретной системы может быть выяснен в процессе решения системы. При этом наиболее естественным, универсальным, экономным методом решения систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Есть, впрочем, и ряд других, специфических методов решения систем линейных уравнений: метод определителей; матричный метод; метод последовательных приближений, и некоторые другие. Идею этих методов мы рассмотрим в следующем параграфе.

Упражнения

1. Решить систему

Где А – некоторый числовой параметр. Указать, при каких значениях А система: а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет бесчисленное множество решений.

Ответ: а) При система имеет единственное решение (;); б) при система не имеет решений; в) бесчисленного количества решений система ни при каких значениях А иметь не может.