1.7. Вторая основная задача аналитической геометрии на плоскости

Эта задача обратна первой. То есть уравнение линии L дано, а по нему эту линию нужно построить. Указанная задача существенно проще первой основной задачи, и решается она стандартными методами.

Пусть, например, уравнение некоторой линии L задано в декартовых координатах в виде функции Y = F(X) (в явном виде). Требуется по данному уравнению линии L построить саму линию L. В данном случае линия L – это просто график функции Y = F(X).

В принципе, построить линию – это значит нанести на плоскость все точки линии, совокупность которых и образует линию. Точками, лежащими на линии, будут те и только те точки М (X; Y), координаты (X; Y) которых удовлетворяют уравнению линии Y = F(X). Так как на любой линии лежит бесчисленное множество точек, то определить координаты каждой из них и нанести все их на плоскость невозможно. Поэтому на практике при построении линии по ее уравнению Y = F(X) поступают так. Из области определения функции Y = F(X) (то есть из множества всех тех значений X, для которых можно найти Y) на выбранном участке оси Ох выбирают ряд значений (X1; X2; … Xn) аргумента X, и по уравнению линии Y = F(X) вычисляют соответствующий им набор значений (Y1; Y2; … Yn) функции Y. В итоге получают таблицу вида

Х	Х1	Х2	…	ХN	(6.1)
У	У1	У2	…	Yn

Содержащую координаты N точек (М1 (X1; Y1); М2 (X2; Y2); … МN (Xn; Yn)) искомой линии. Нанося эти точки на плоскости Xoy и соединяя их плавной кривой, строят искомую линию L (рис. 1.21). Этот хорошо известный способ называется Построением линии по точкам.

По точкам, очевидно, можно построить и линию по ее явному уравнению в полярных координатах. Для этого нужно задать ряд значений полярного угла и для них найти соответствующие значения полярного радиуса R. Затем по найденным точкам (М1 (φ1; R1); М2 (φ2; R 2); … МN (φN; R N)) строят и саму линию.

Наконец, по точкам можно построить и линию, заданную уравнением в параметрической форме, то есть заданную системой уравнений вида (4.6). Для этого для ряда выбранных значений (T1; T2; … Tn) параметра T вычисляют соответствующие значения X И Y, что приводит к таблице вида:

T	T1	T2	…	Tn	(6.2)
X	X1	X1	…	Xn
Y	Yn	Yn	…	Yn

В итоге находятся и точки (М1 (X1; Y1); М2 (X2; Y2); … МN (Xn; Yn)), по которым строят и саму линию.

Отметим, что качество построенной по точкам линии будет выше, если в состав точек, по которым строится линия, будут включены наиболее интересные и важные точки этой линии – ее вершины, впадины, точки пересечения линии с осями координат, точки разрыва линии, и т. д., а также будет учтена возможная симметрия линии, ее повторяемость (периодичность) и другие ее особенности. Получение всей этой важной информации о линии связано с математическим исследованием уравнения линии, на чем мы подробно остановимся позднее – в § 3 главы 4.

Примечание. Если уравнение линии задано в неявной форме (например, в виде F(х;у)=0 или в виде F(φ; R)=0), то и математическое исследование такого уравнения, и нахождение точек такой линии существенно усложняется. Например, задав в уравнении F(X;Y)=0 значение X, нам придется для нахождения соответствующего значения (значений) Y решать это уравнение относительно Y. А это может оказаться сделать и непросто. Возможно, даже придется решать это уравнение приближенно машинным путем (на ЭВМ).

Отметим еще следующее. Построение линии по ее уравнению значительно упрощается, если это уравнение принадлежит к известному типу. Например, если уравнение линии представляет собой линейную функцию вида , квадратичную функцию вида , показательную функцию вида , логарифмическую функцию вида и т. д. Тогда сразу становится известен тип самой линии (прямая, парабола, показательная кривая, логарифмическая кривая и т. д.). Остается лишь установить детали этой линии. Скажем, для параболы – это направление ее ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями координат. После получения этой информации легко строится и сама парабола.

Пример 1. Построить линию, имеющую уравнение .

Решение. Уравнение линии представляет собой квадратичную функцию вида , где A = -1; B = 4; С = 0, поэтому данная линия – парабола. Ветви этой параболы направлены вниз, т. к. . Найдем вершину параболы. Абсциссу XВ вершины найдем по известной школьной формуле:

А ординату вершины YВ найдем по уравнению параболы: . Итак, точка A(2;4) – вершина параболы.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осью Ох. На этой оси Y=0, поэтому получаем:

Þ X1 = 0 и X2 = 4.

Итак, парабола пересекает ось Ох в двух точках: X1 = 0 и X2 = 4. А теперь строим параболу (данных для ее построения достаточно).

При построении на одном чертеже нескольких линий может возникнуть Вопрос об определении точек пересечения этих линий.

Пусть, например, Y = F1(X) и Y = F2(X) – уравнения некоторых двух линий, и требуется найти точки их пересечения. Так как искомые точки должны одновременно принадлежать обеим линиям, то и их координаты (X;Y) должны одновременно удовлетворять уравнениям обеих линий. То есть они должны удовлетворять системе

(6.3)

Из уравнений этих линий. Обратно, решив систему (6.3), мы найдем такую пару (или такие пары) значений (X;Y), которые будут одновременно удовлетворять обоим уравнениям этой системы. А это значит, что точки с найденными координатами (X;Y) Лежат на обеих линиях, то есть являются точками пересечения этих линий.

Таким образом, Найти точки пересечения линий – это значит решить систему из уравнений этих линий.

Пример 2. Найти точки пересечения прямой Y = X и параболы У=х2. Сделать иллюстрирующий чертеж.

Решение. Составим и решим систему из уравнений этих линий:

и –

- два решения системы. Таким образом, имеются две точки пересечения данных прямой и параболы: точка O(0;0) и точка А (1;1). Иллюстрация этого представлена выше.

Упражнения

1. Построить линию, имеющую уравнение Xy = 0.

Ответ: крест из координатных осей Ох и Оу.

2. Построить линию, имеющую уравнение 2X – 3Y = 6.

Ответ: прямая, пересекающая ось Ох в точке и ось Оу в точке .