1.19. Поток событий. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона используется в задачах, связанных с потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примерами потоков событий являются: поток звонков на телефонную станцию, в милицию или на станцию скорой помощи; поток заявок в системе массового обслуживания; поток автомобильных аварий на дорогах города и т. д. Поток событий называется простейшим, или пуассоновским, если он характеризуется следующими свойствами:

1) Вероятность появления событий потока за промежуток времени длительностью зависит лишь от величины и длительности времени, а не от начала отсчета времени.

2) Вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления за это время только одного события.

Можно доказать (см. например [6], § 2.4), что вероятность появления событий простейшего потока за время определяется формулой:

(2.8)

Здесь – Интенсивность пуассоновского потока, под которой понимается Среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

Пусть – число событий простейшего потока, происходящих за заданное время . Очевидно, что – дискретная случайная величина с возможными значениями (…) и вероятностями ( ), находимыми, согласно (2.8), по формуле:

где (2.9)

Распределение указанной дискретной случайной величины

								(2.10)

Называется Распределением Пуассона. Его еще Называют распределением редких событий. Последнее название связано с тем, что по этой же формуле Пуассона (2.9), согласно формуле 6.6 главы 1, приближенно находятся вероятности появления редкого события раз в испытаниях.

Если вычислить числовые характеристики величины , имеющей распределение Пуассона, то получим (выкладки опускаем):

(2.11)

Пример 2. Среднее число бракованных деталей, изготавливаемых станком-автоматом в течение одного часа, равно 6. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа бракованных деталей, которые будут изготовлены станком-автоматом в ближайшие полчаса. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Будем считать поток бракованных деталей простейшим (пуассоновским). Тогда закон распределения рассматриваемой случайной величины будет иметь вид (2.10). При этом вероятности () находятся по формуле (2.9) при

То есть

И тогда закон распределения величины примет вид:

А числовые характеристики величины Найдутся по формулам (2.11):

Упражнения

1. Есть ли что-нибудь общее у биномиального распределения и распределения Пуассона. Что именно?

2. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Составить закон распределения случайной величины – числа партий, которые выиграет первый игрок, если будут играться 4 партии. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Ответ:

3. В магазин привезли 300 стеклянных бутылок с минеральной водой. Известно, что в среднем при перевозке одна из 500 бутылок разбивается. Составить закон распределения случайной величины – числа разбитых бутылок в привезенной партии. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >