3. Тренинг и задания по формированию компетенций

1 Алгоритм формирования компетенций

Компетенция	Этап формирования*. Алгоритм расчета
Освоения методики использо-вания программных средств для решения практических задач (ПК-2)	А. Вычислить линейную комбинацию двух векторов, заданных своими координатами (Заданные дейст-вительные числа). 1. Изучить определение и свойства сложения и вычитания двух векторов, заданных своими координатами. 2. Изучить определение и свойства умножения вектора на число. 3. Изучить определение и свойства линейной комбинации векторов ( любые действительные числа). 4. Вычислить вектор . 5. Вычислить вектор . 6. Сложив полученные векторы, получить искомую линейную комбинацию
В. Вычислить скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами и . 1. Изучить определение и свойства скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами 2. Вычислить скалярное произведение по формуле
С. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и . 1. Изучить определение и свойства векторного произведения . 2. Найти координаты векторного произведения 3. Вычислить модуль векторного произведения : . 4. Выписать ответ: площадь треугольника S равна половине площади параллелограмма, т. е. S =

D. Проверить, будут ли векторы = {X1, Y1, Z1}, = {X1, Y1, Z1}, = {X3, Y3, Z3} линейно зависимы (компланарны). В противном случае найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл.

2. Вычислить смешанное произведение .

3. Сделать вывод: если =0, то вектора , , лежат в одной плоскости, т. е. линейно зависимы (любой вектор может быть линейно выражен через другие); если 0 (векторы не компланарны), то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах V =, причем тройка , , будет правой, если > 0 и левой в противном случае

E. Вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам строки (или столбца).

1. Изучить определение определителя третьего порядка и способы его вычисления.

2. Вычислить алгебраические дополнения элементов строки .

3. Вычислить определитель по формуле

Det А=

2 Формирование компетенций

ПК-2. Освоение методики использования программных средств для решения практических задач

Этап формирования ПК-2. А. Вычислить линейную комбинацию двух векторов, заданных своими координатами (Заданные действительные числа)

Решение типовой задачи

Условие задачи

Вычислить линейную комбинацию двух векторов {–1, 2, 3} и {2, 0, 1}. заданных своими координатами.

Решение задачи

№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Ознакомиться с определением линейной комбинации векторов, заданных своими координатами	(Заданные действительные числа), в нашем случае Векторы равны: {–1, 2, 3}, {2, 0, 1}
2	Вычислить вектор	В данном случае вектор
3	Вычислить вектор	В данном случае вектор
№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
4	Сложить полученные векторы и получить	В данном случае
5	Выписать ответ	Линейной комбинацией двух исходных векторов будет вектор

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Даны векторы ={1, 0, –2} и ={3, –1, 1}. Найти линейную комбинацию этих векторов

Задача 2

Даны векторы ={7, 0, –3} и ={0, –1, 1}. Найти линейную комбинацию этих векторов

Задача 3

Даны векторы ={0, 0, –3} и ={0, –1, 1}. Найти линейную комбинацию этих векторов

Задача 4

Даны векторы ={3, 0, –3} и ={0, –1, 6}. Найти линейную комбинацию этих векторов

Задача 5

Даны векторы ={7, 0, –4} и ={0, –1, 0}. Найти линейную комбинацию этих векторов

Этап формирования ПК-2. В. Вычислить скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами и

Решение типовой задачи

Условие задачи

Вычислить скалярное произведение двух векторов и , если векторы заданы своими координатами: {–1, 2, 3} и {2, 0, 1}

Решение задачи

№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Ознакомиться с определением скалярного произведения векто-ров, заданных своими коорди-натами	Общая формула скалярного произведения имеет вид . В нашем случае координаты векторов вычисляются как линейные комби-нации исходных векторов {–1, 2, 3} и {2, 0, 1}
2	Вычислить вектор	В данном случае вектор
3	Вычислить вектор	В данном случае вектор
4	Вычислить скалярное произведение двух полученных векторов	В данном случае
5	Выписать ответ

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Даны векторы ={0, 0, –2} и ={3,0, 1}. Найти скалярное произведение векторов,

и .

Задача 2

Даны векторы ={3, 2, –2} и ={0,0, 1}. Найти скалярное произведение векторов,

и .

Задача 3

Даны векторы ={8, 3, –2} и ={1,1, 1}. Найти скалярное произведение векторов,

и .

Задача 4

Даны векторы ={15, -3, –2} и ={0,2, 1}. Найти скалярное произведение векторов,

и .

Задача 5

Даны векторы ={1, 2, –3} и ={5,0, 1}. Найти скалярное произведение векторов,

и .

Этап формирования ПК-2. С. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и

Решение типовой задачи

Условие задачи

Найти площадь треугольника SD, построенного на векторах {–1, 2, 3} и {2, 0, 1}.

Решение задачи

№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Ознакомиться с определением вектора, равного векторному произведению	, где , и , – численно равен площади параллелограмма, построенного на и
2	Вычислить координаты векторного произведения
3	Вычислить модуль векторного произведения	;
4	Выписать ответ	Площадь равна половине площади параллелограмма:

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Даны векторы ={1, 0, –2} и ={3, –1, 1}. Найти векторное произведение векторов и , где = + , = 2 – .

Задача 2

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах + и – , где ={1, 1, –1}, ={2, 0, 3}.

Задача 3

Найти векторы , где – базисная тройка.

Задача 4

Найти координаты вектора , если известно:

1) ^, = {–1, 1, 0};

2) ^, = {0, 3, 2};

3) ||2 = 68.

Задача 5

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах = + 2, = 2 + , как на сторонах, если и – единичные векторы, угол между которыми равен 30°.

Этап формирования ПК-2. D. Проверить, будут ли векторы = {X1, Y1, Z1}, = {X1, Y1, Z1},
= {X3, Y3, Z3} линейно зависимы (компланарны). В противном случае найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах

Решение типовой задачи

Условие задачи

Проверить, будут ли векторы ={1, 2, 1}, ={2, –6, 3} и ={0, 2, –1} компланарны и найти объем параллелепипеда, построенного на , , в противном случае.

Решение

№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Изучить определение сме-шанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомно-жителей и геометрический смысл
2	Вычислить смешанное произ-ведение	=. Определитель считаем разложением по 1-му столбцу
3	Сделать вывод: если = 0, то векторы лежат в одной плоскости, если 0, то объем параллелепипеда	Так как = 0, то векторы лежат в одной плоскости и будут линейно зависимыми: так,; объем параллелепипеда в этом случае V = 0

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на сторонах, если
={4, –1, 2}, ={0, –1, 0}, ={2, 1, –3}.

Задача 2

Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах ={1, 1, 1}, ={2, 0, –1},
={0, 3, –1}.

Задача 3

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если известно, что
={1, 3, –5}, ={0, 2, 5}, скалярные произведения (,) = 0, (,) = 1 и вектор перпендикулярен оси ОХ.

Задача 4

Доказать, что четыре точки А(1, 2, –1), В(0, 1, 5), С(–1, 2, 1), D(2, 1 ,3) лежат в одной плоскости.

Задача 5

Вектор ортогонален векторам и ; || = 3, || = 5, || = 2; угол между векторами и равен , т. е. ( Ù ) = . Вычислить , , .

Задача 6

Определить, какой является тройка векторов, , (левой или правой), если

= , = = , = .

Этап формирования ПК-2. Е. Вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам I-ой строки (или столбца)

Решение типовой задачи

Условие задачи

Вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам первой строки

Решение задачи

№ П/п	Этап (шаг) алгоритма	Конкретное действие в соответствии с алгоритмом
1	Изучить определение определителя третьего порядка и способы его вычисления	В данном случае задан определитель третьего порядка и требуется разложить его по первой строке
2	Вычислить алгебраические дополнения элементов первой строки	Вычислим алгебраические дополнения элементов первой строки. Для алгебраическое дополнение равно (формула (1.7)) . Для получим . Для получим
3	Определитель считаем разложением по 1-му столбцу	. В нашем случае получим