2.7 Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Для обозначения скалярного произведения вектора на вектор употребляется одна из записей: , .

Согласно определению имеем

. (2.18)

Очевидно, что скалярное произведение ненулевых векторов и будет равно нулю, если векторы перпендикулярны (ортогональны).

Заметим, что и .

Поэтому скалярное произведение можно записать в виде

(2.19)

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если || = 2, || = 1, а угол между ними равен 120°.

По формуле (2.18) имеем .

Скалярное произведение обладает следующими Свойствами.

1. (переместительный закон).

2. (( + ), ) = (, ) + (, ) (распределительный закон).

3. (,) называется Скалярным квадратом вектора , обозначается 2.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Действительно,

(,) = || ´ || ´cos 0° = ||2. (2.20)

Очевидно, (,) ³ 0, причем, (,) = 0 лишь при = 0 (нуль- вектор).

4. (, l×) = (×l, ) = l×(,) числовой множитель можно вывести за знак скалярного произведения.

Из определения скалярного произведения следует, что необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

(,) = 0 « ^ (2.21)

(нуль-вектор считается ортогональным любому направлению).

< Предыдущая		Следующая >