2.12 Понятие арифметического n-мерного пространства

В предыдущих параграфах мы рассмотрели векторы в декартовой прямоугольной системе координат с базисом , , . Мы знаем теперь, что любой вектор в этой системе можно разложить по базису, т. е. представить в виде

Где числа X, Y, Z являются координатами вектора в базисе , , , и однозначно его определяют. Итак, можно считать вектором упорядоченную тройку чисел (X, Y, Z).

Например, вектор представляет тройка чисел (1, 0, 0), соответственно, – {0, 1, 0}, – {0, 0, 1}.

Будем говорить, что эти векторы заданы в трехмерном пространстве R3 (3 – размерность пространства). Векторы , , образуют базис пространства R3.

Можно теперь обобщить введенные понятия. Назовем Вектором N-мерного пространства Rn упорядоченную совокупность N чисел {X1, X2,…, Xn}. Особые векторы

{1, 0, 0,..., 0}, {0, 1, 0,..., 0}, ..., {0, 0, 0, ..., 1}

Образуют Канонический базис пространства RN.

Многие понятия, относящиеся к RN, взяты из трехмерного пространства. Подобно тому, как это было сделано ранее, можно операции над векторами в пространстве RN свести к операциям над их координатами.

Пусть ={A1, A2,..., An}, = {B1, B2,..., Bn} – два вектора пространства RN.

1. Суммой векторов , называется вектор = + , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов и , т. е.

= {C1, C2, ..., Cn}, где (I = ). (2.31)

2. Произведением вектора на число λ называется вектор, координаты которого равны произведению соответствующих координат вектора на число λ:

l = {lA1, lA2, …, lN}. (2.32)

Вектор называется нулевым вектором.

Вектор называется Линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Векторы называются Линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что .

Если же это равенство выполняется лишь при l1 = l2 = ... = lN = 0, то векторы называются Линейно независимыми. Можно показать, что векторы линейно независимы и любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации:

(2.33)

Это равенство представляет собой разложение вектора по базису . Числа называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора по базису определяются однозначно.

Заметим, что любые N линейно независимых векторов из RN образуют базис пространства RN, Каждый вектор является однозначной линейной комбинацией векторов базиса. Координаты вектора зависят от базиса.