1.2 Определитель 3-го порядка. Минор

Разложение определителя по строке (столбцу)

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка

. (1.4)

Одной из характеристик матрицы является ее определитель – число, вычисленное по правилу

. (1.5)

Коэффициент при Aij в этой формуле (соответствующий определитель 2-го порядка) называется Минором этого элемента (от слова "младший").

Дадим строгое определение минора элемента матрицы.

Минором элемента матрицы называется определитель Mij, полученный из матрицы А путем вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

Например, определитель второго порядка

Является минором элемента A12 матрицы (1.4) (из матрицы А вычеркнута 1-я строка и 2-й столбец).

Теперь, используя понятие минора, правило вычисления Определителя матрицы 3-го порядка можно записать так:

det A= A11 × M11 – A12 × M12 + A13 × M13. (1.6)

Эта формула называется разложением определителя по первой строке, она позволяет свести вычисление определителя 3-го порядка к вычислению трех определителей 2-го порядка.

Назовем число Aij = (–1)I+J× Mij Алгебраическим дополнением элемента Aij. Очевидно, что

. (1.7)

Знак, который приписывается минору соответствующего элемента определителя, можно записать в следующей таблице:

С помощью алгебраических дополнений формулу (1.6) можно записать так:

. (1.8)

Итак, Определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Можно доказать, что это правило справедливо для произвольной строки или столбца определителя. Результат вычисления определителя не зависит от того, по какой строке или столбцу записывается разложение типа (1.8). Справедлива общая теорема.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая по второй строке, получим

.

Разложите этот определитель по первой строке и сравните ответ. Убедитесь, что результат будет таким же.

Заметим, что справедлива теорема: сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

< Предыдущая		Следующая >