1.3 Определитель n-го порядка

Теперь мы знаем, что, разлагая определитель 3-го порядка по строке (столбцу), можно свести его вычисление к вычислению определителей 2-го порядка. Аналогично, определитель 4-го порядка, разлагая по строке (столбцу), можно свести к вычислению определителей 3-го порядка. Эти определители, в свою очередь, можно свести к вычислению определителей 2-го порядка и т. д. По индукции можно утверждать, что вычисление определителя N-го порядка (числа, соответствующего квадратной матрице с N строками и N столбцами) сводится к вычислению определителей (N – 1)-го порядков. Результат не зависит от того, по какой строке или столбцу производится разложение. Очевидно, что разложение "выгодно" производить по той строке (столбцу), где больше нулевых элементов.

Пример. В приведенном ниже примере в четвертом столбце имеется два нуля, и поэтому разложение определителя проводится по четвертому столбцу.

Очевидно, что вычислять таким образом определители высокого порядка чрезвычайно громоздко и неудобно. Алгоритм такого типа абсолютно неприменим при вычислении определителей высокого порядка на компьютерах по крайней мере в силу двух причин. Во-первых, количество требуемых арифметических операций с ростом порядка определителя растет чрезвычайно быстро. Во-вторых, погрешности округления при вычислении на компьютере будут быстро нарастать, и получить результат с приемлемой точностью будет невозможно. Эти вопросы будут позже рассмотрены в дисциплине «Вычислительная математика». Сейчас лишь отметим, что изложенный выше алгоритм вычисления определителей используется в теоретических рассуждениях и оценках, но на практике неприменим для вычисления определителей порядка больше, чем 3 или 4. На практике для вычисления определителей используется весьма эффективный метод Гаусса, который будет позже рассмотрен при изучении алгебры. Для этого нам понадобится знать некоторые свойства определителей, к рассмотрению которых мы сейчас и перейдем.

< Предыдущая		Следующая >