Тренинг умений

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1а

Задание

Определите, лежит ли точка на плоскость .

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	В уравнение плоскости подставить вместо текущих координат x, y, z координаты точки
2	Если при этом получится тождество, то точка лежит на плоскости	Получили тождество, точка принадлежит данной плоскости

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Проходит ли плоскость через точку ?

Задание 2

Убедитесь, что расстояние от точки до плоскости , равно нулю (точка лежит на плоскости).

Задание 3

Проходит ли плоскость через начало координат?

Задание 4

Принадлежит ли точка плоскости ?

Задание 5

Определить, какая из точек или лежит на плоскости .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 1б

Задание

Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	Двум координатам из трех следует придать произвольные значения; если все три коэффициента отличны от нуля, то любой паре координат можно присвоить произвольные значения.	Пусть ,
2	Подставить выбранную пару координат в уравнении плоскости.
3	Из полученного равенства найти третью координату. Замечание: если в уравнении плоскости отсутствует какая-либо из координат, то этой координате и одной из оставшихся присваиваются произвольные значения	Точка (0,-1,-1) лежит на заданной плоскости.

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

Задание 2

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

Задание 3

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

Задание 4

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

Задание 5

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 2

Задание

Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	Проверить, будут ли векторы , коллинеарны	Условие коллиеарности не выполнено, задача имеет единственное решение
2	Найти векторное произведение
3	Положить вектор равным	=

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.

Задание 2

Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .

Задание 3

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.

Задание 4

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .

Задание 5

Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 3

Задание

Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

Вычислить расстояние d по формуле

Точка отстоит от плоскости на расстоянии 4 ед.

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите расстояние от точки до плоскости .

Задание 2

Найдите расстояние от точки до плоскости .

Задание 3

Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.

Задание 4

Найти расстояние от начала координат до плоскости .

Задание 5

Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4а

Задание

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	Вычислить координаты вектора
2	Взять направляющий вектор =
3	Написать каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , взяв любую точку из данных точек на прямой	или

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и

Задание 2

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Задание 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Задание 4

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .

Задание 5

Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 4б

Задание

Написать параметрические уравнения прямой .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

Обозначить коэффициент пропорциональности через t

; ;

Из полученных равенств выразить координаты x, y, z

; ;

Параметрические уравнения данной прямой

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите параметрические уравнения прямой .

Задание 2

Напишите параметрические уравнения прямой .

Задание 3

Напишите параметрические уравнения прямой .

Задание 4

Напишите параметрические уравнения прямой .

Задание 5

Напишите параметрические уравнения прямой .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 5

Задание

Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .

Решение

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие

Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого одной из переменных присвоим произвольное значение, например , и решить полученную систему

Пусть , получим систему .

Т. к. , то система имеет единственное решение , . Точка лежит на прямой

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
2	Выписать координаты векторов нормали и
3	Найти векторное произведение	= =
4	Взять направляющим вектором прямой вектор =	или, направляющий вектором может служить коллинеарный вектор
5	Выписать каноническое уравнение прямой

Замечание. В данной задаче направляющий вектор может быть получен так:

1. Найти две различные точки и на данной прямой.

2. = .

В рассмотренном примере: точка (0,-1,0), а при =1 получаем точку (-1,1,1), и .

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Напишите каноническое уравнение прямой .

Задание 2

Напишите каноническое уравнение прямой .

Задание 3

Напишите каноническое уравнение прямой .

Задание 4

Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).

Задание 5

Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 6

Задание

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	Записать параметрические уравнения прямой	,,
2	Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости.	или
3	Из полученного уравнения найти
4	Подставить значение в параметрическое уравнение прямой и найти координаты точки пересечения	, ,

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

Задание 2

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

Задание 3

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

Задание 4

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.

Задание 5

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 7

Задание

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	В выражениях , и выделить полные квадраты и подставить их в исходное уравнение	Подставим в данное уравнение и получим или
2	Выписать преобразование коор-динат при параллельном сдвиге системы координат , ,	, ,
3	Подставить полученные выражения в уравнение поверхности и получить ее каноническое уравнение	или
4	По каноническому уравнению определить тип поверхности и ее параметры	Получили каноническое уравнение трехосного эллипсоида с центром симметрии в точке и полуосями

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Задание 2

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Задание 3

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Задание 4

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Задание 5

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

Пример выполнения упражнения тренинга на умение 8

Задание

По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей;
б) какой координатной оси параллельны его образующие.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие
1	Уравнение направляющей совпадает с уравнением цилиндра	- направляющая параболического цилиндра в плоскости XOZ
2	Образующие параллельны той коор-динатной оси, «название» которой в уравнении цилиндра отсутствует	В уравнении отсутствует y, значит образующая параллельна оси OY
3	Построить чертеж

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

< Предыдущая