2.6 Общее уравнение 2-го порядка, типы линий

Напомним, что общее уравнение 2-го порядка имеет вид

(2.13)

Где

A2 + B2 + C2 > 0, (2.14)

Т. е. хотя бы один из коэффициентов А, В или С отличен от нуля. Здесь функция двух переменных

Q(X, Y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2

Называется квадратичной формой, а матрица называется матрицей квадратичной формы. Она симметрична, так как совпадают элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали. Определитель этой матрицы D = AC – B2 – это величина, знак которой, а также знаки коэффициентов А и С Играют решающую роль при выяснении вопроса о типе кривой, заданной общим уравнением. Функция двух переменных

L(X, Y) = 2Dx + 2Ey + F

Называется линейной функцией. Таким образом, левая часть уравнения (2.13) есть сумма двух слагаемых:

Квадратичная форма + линейная функция.

Какие кривые на плоскости определяются алгебраическим уравнением (2.13) с условием (2.14)? Во-первых, это может быть одна из трех рассмотренных нами кривых второго порядка: эллипс, гипербола или парабола (эллипс и гипербола – центральные кривые, имеют центр симметрии, парабола – не имеет центра симметрии). Кроме того, уравнение (2.13) может определять некоторые вырожденные кривые:

А) пара пересекающихся прямых, например:

X2 – Y2 = 0, (Х – У)(Х + У) = 0, У = Х или У = –Х;

В) пара параллельных прямых, например:

Y2 – 1 = 0, (У – 1)(У + 1) = 0, У = 1 или У = –1;

С) пара совпадающих прямых, например:

X2 – 2Xy + Y2 = 0, (X – Y)2 = 0, Х = У;

D) "вырожденный" эллипс – точка, например:

X2 – 2X + Y2+ 1 = 0, (X – 1)2 + Y2 = 0,

И, наконец,

Е) пустое множество:

X2 + Y2 + 1 = 0, X2 + Y2 = –1.

В курсе аналитической геометрии доказывается, что других возможностей, кроме перечисленных, быть не может. При таких преобразованиях системы координат, как параллельный сдвиг и поворот осей, определитель матрицы квадратичной формы D = AC – B2 не меняется, и с его помощью линии второго порядка классифицируют по следующим трем типам:

1) эллиптический, при АС – B2 > 0;

2) гиперболический, при АС – B2 < 0;

3) параболический, при АС – B2 = 0.

< Предыдущая		Следующая >