1.3.6 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки М(Х1 ,У1 ) и N(Х2, y2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Так как эта прямая проходит через точку М, то согласно формуле (1.13) ее уравнение имеет вид

У – Y1 = K(X – x1),

Где K – неизвестный угловой коэффициент.

Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N, а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1.13)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:

.

Подставим найденное значение K в уравнение (1.13), и получим

,

Или после преобразования

(1.14)

Формула (1.14) определяет Уравнение прямой, проходящей через две точки М(X1, Y1) и N(X2, Y2).

В частном случае, когда точки M(A, 0), N(0, B), А ¹ 0, B ¹ 0, лежат на осях координат, уравнение (1.14) примет более простой вид

(1.15)

Уравнение (1.15) называется Уравнением прямой в отрезках, здесь А и B обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6

Пример 1.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(1, 2) и B(3, –1).

Решение. Согласно (1.14) уравнение искомой прямой имеет вид

Откуда

Или

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Перенося все члены в левую часть, окончательно получаем искомое уравнение

3X + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 1) и точку пересечения прямых X + Y – 1 = 0, Х – у + 2 = 0.

Решение. Координаты точки пересечения прямых найдем, решив совместно данные уравнения

.

Если сложить почленно эти уравнения, получим 2X + 1 = 0, откуда . Подставив найденное значение в любое уравнение, найдем значение ординаты У:

или .

Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2, 1) и :

или .

Отсюда или –5(Y – 1) = X – 2.

Окончательно получаем уравнение искомой прямой в виде Х + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки M(2,1) и N(2,3).

Используя формулу (1.14), получим уравнение

.

Оно не имеет смысла, так как второй знаменатель равен нулю. Из условия задачи видно, что абсциссы обеих точек имеют одно и то же значение. Значит, искомая прямая параллельна оси ОY и ее уравнение имеет вид: x = 2.

Замечание. Если при записи уравнения прямой по формуле (1.14) один из знаменателей окажется равным нулю, то искомое уравнение можно получить, приравняв к нулю соответствующий числитель.

Рассмотрим другие способы задания прямой на плоскости.

1. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен данной прямой L, а точка M0(X0, Y0) лежит на этой прямой (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7

Обозначим М(X, Y) произвольную точку на прямой L. Векторы и Ортогональны. Используя условия ортогональности этих векторов, получим или А(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Мы получили уравнение прямой, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору . Этот вектор называется Вектором нормали к прямой L. Полученное уравнение можно переписать в виде

Ах + Ву + С = 0, где С = –(АX0 + By0), (1.16),

Где А и В – координаты вектора нормали.

Получим общее уравнение прямой в параметрическом виде.

2. Прямую на плоскости можно задать так: пусть ненулевой вектор параллелен данной прямой L и точка M0(X0, Y0) лежит на этой прямой. Вновь возьмем произвольную точку М(Х, y) на прямой (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

Векторы и коллинеарны.

Запишем условие коллинеарности этих векторов: , где T – произвольное число, называемое параметром. Распишем это равенство в координатах:

. (1.17)

Эти уравнения называются Параметрическими уравнениями Прямой. Исключим из этих уравнений параметр T:

.

Эти уравнения иначе можно записать в виде

. (1.18)

Полученное уравнение называют Каноническим уравнением прямой. Вектор называют Направляющим вектором прямой.

Замечание. Легко видеть, что если – вектор нормали к прямой L, то ее направляющим вектором может быть вектор , так как , т. е. .

Пример 1.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M0(1, 1) параллельно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.

Решение. Вектор является вектором нормали к заданной и искомой прямым. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M0 с заданным вектором нормали 3(Х –1) + 2(У – 1) = 0 или 3Х + 2у – 5 = 0. Получили уравнение искомой прямой.

Пример 1.14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M0(1, 1) перпендикулярно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.

Решение. Вектор нормали данной прямой параллелен искомой прямой и может служить направляющим вектором к ней. Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0 с направляющим вектором . Получили каноническое уравнение искомой прямой.

Пример 1.15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(1, 1) параллельно оси ОУ.

Решение. Орт служит направляющим вектором искомой прямой (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Каноническое уравнение этой прямой имеет вид

. (1.19)

Заметим, что не следует бояться случая, когда в каноническом уравнении прямой в знаменателе стоит нуль. Это означает, что соответствующая координата направляющего вектора равна нулю. Из (1.19) следует, что искомая прямая имеет вид .

< Предыдущая		Следующая >