02. Оптимизация плана производства

Цели

В данной главе показаны возможности использования Модели линейного программирования (ЛП) для определения плана произ­водства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказать­ся для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производ­ственного планирования, учитывающая динамику спроса, произ­водства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оператив­ного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необхо­димо определить план производства одного или нескольких ви­дов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть Оптимальным С точ­ки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, миниму­ма затрат на производство и т. д.

Модели

Введем обозначения:

П — количество выпускаемых продуктов;

Т — количество используемых производственных ресурсов (на­пример, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

АIj — объем затрат I-Го ресурса на выпуск единицы J-й продук­ции;

СJ — прибыль от выпуска и реализации единицы J-Го продукта;

Bi — количество имеющегося I-го ресурса;

ХJ — объем выпуска J-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного про­граммирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (Constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

ХJ — переменная (Variable).

Задача (1)—(3) называется Задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на ми­нимум имеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор Х = (X1, X2, ..., Xn), компоненты ХJ которого удовлетво­ряют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется Допустимым решением или Допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется Множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минималь­ного) значения, называется Оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется Двойствен­ной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (пере­менная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется Двойственной оценкой (Dual Value) ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть j = max (), где ХJ — компонента допустимого решения задачи (1)—(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптималь­ного решения имеют место следующие соотношения:

Изменим значение правой части Bi одного основного ограни­чения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение У* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение Y* двойственной задачи не из­менится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента СJ целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение коэффициента целевой функ­ции, при котором оптимальное решение X* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей устой­чивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение Х* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

< Предыдущая		Следующая >