04. Интегрирование рациональных дробей

Интеграл от рациональной дроби где Pm(X) И Qn(X) Многочлены степени M и N Соответственно всегда вычисляется в элементарных функциях.

Алгоритм вычисления:

А) если (т. е. дробь неправильная), то делим числитель на знаменатель (уголком) и выделяем целую часть и правильную рациональную дробь;

Б) знаменатель дроби раскладываем на простейшие множители;

В) представляем правильную рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами (вид разложения определяется разложением знаменателя на простейшие множители);

Г) находим неопределенные коэффициенты, для этого домножаем обе части равенства на общий знаменатель, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях равенства; либо придаем Х произвольные значения;

Д) вычисляем интегралы от целой части и элементарных дробей.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Дробь правильная. Раскладываем знаменатель на множители . Представим дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

Домножим это дроби на и получим

Полагая , , получаем значения коэффициентов , . Вычисляем интеграл

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

< Предыдущая		Следующая >