59. Комплексные числа и действия над ними

Числа вида назовём комплексными числами. Назовём действительной, а мнимой частями комплексного числа и будем обозначать их соответственно Два комплексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам

, .

Обратные операции имеют вид

,

Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости . Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек . Для операции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.

Если действительные числа отождествить с комплексными числами вида , то эти операции совпадают с обычными операциями над действительными числами и поэтому комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа получаем

Модулем комплексного числа назовём длину радиус-вектора точки , то есть число . Тогда

.

Числа и являются соответственно косинусом и синусом угла между радиус-вектором точки и осью . Поэтому можем записать, что . Эта форма записи числа называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом числа . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на , совпадают. Среди всех значений аргумента числа выбирают значение, называемое главным, и обозначают его . Наиболее удобным является выбор главного значения аргумента из промежутков ,,

. В пакете Mathcad главное значение аргумента выбирается из промежутка . При выборе главного значения аргумента из промежутка его находят по формулам

Формулы для нахождения главного значения аргумента, при выборе его из других промежутков, предлагается написать самостоятельно. Все значения аргумента числа обозначают . Отметим, что

Полагая , можем записать . Эта форма записи числа называется показательной формой записи комплексного числа. Так как , то, складывая и вычитая с , получаем формулы Эйлера

Далее, . Поэтому

.

Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Как следствие этих результатов получаем формулы Муавра

,

Примеры

1. Найдём Так как то, используя вышеприведённую формулу, имеем Придавая последовательно значения 0,1,2, получаем три значения корня кубического из единицы

2. Найдём . Так как то Придавая последовательно значения 0,1, получаем два значения Корня квадратного из .

< Предыдущая		Следующая >