45. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши (5.3), (5.7) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения , удовлетворяющее условию . Пусть - решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.3), получим тождество . Интегрируя это тождество по , получаем

,

Или, что то же самое,

. (5.16)

Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.3), (5.7) есть решение интегрального уравнения (5.16). С другой стороны, если - дифференцируемое решение интегрального уравнения (5.16), то, дифференцируя (5.16) по , получаем, что - решение задачи Коши (5.3), (5.7).

Решение интегрального уравнения (5.16) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим

. (5.17)

Оператор , отображающий метрическое пространство в себя, называют сжимающим , если , где -расстояние в , .

Сжимающие операторы имеют неподвижную точку, то есть точку, которая оператором переводится в себя. Если линейное уравнение удаётся записать в виде в котором оператор - сжимающий, то решение этого линейного уравнения можно найти с помощью последовательных приближений , которые сходятся к решению уравнения .

Таким образом, если оператор

- (5.18)

Сжимающий [12], то последовательные приближения (5.17) сходятся к решению интегрального уравнения (5.16), а, следовательно, и дифференциального уравнения , удовлетворяющему условию . Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.18) в [12].

Пример. Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения , удовлетворяющее условию . Подставляя в (5.17), получаем

…,

С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем .

Таким образом, нами получено разложение функции в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).

Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.3), (5.7). Разобьём отрезок , на котором мы ищем решение, на части точками . Положим . Так как по определению производной то, заменяя производную

Конечной разностью в уравнении (5.3), получаем , или, что то же самое,

. (5.19)

Соотношение (5.19) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.3), (5.7). Вычислив получим таблицу значений решения в точках . Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение По формуле Тейлора в окрестности точки До членов второго порядка малости

.

Сравнивая с (5.19) видим, что погрешность формулы (5.19) на одном шаге равна . К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например, методом прогноза и коррекции [14], либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта [14].

< Предыдущая		Следующая >