21. Обобщённые решения.

Если начальные данные не являются непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз, то может и не существовать дифференцируемого решения соответствующей начально-краевой задачи для дифференциального уравнения. Поэтому вводятся так называемые обобщённые решения.

Такие решения могут определяться двумя способами.

1-й способ: обобщённое решение определяется как предел последовательности классических решений.

2-й способ: состоит в замене дифференциального уравнения и (граничных условий некоторым интегральным соотношением).

Пример 1. , , если - дифференцируема, то решение является решением этой задачи, если же только лишь непрерывна, то тоже решение будет обобщённым, так как может быть представлена как предел дифференцируемых функций.

При этом в качестве нормы, в которой берётся предел, можно взять и .

Другой способ введения обобщённых решений предложенный Соболевым в 30-х годах, состоит в использовании интегральных тождеств, которые справедливы для классических решений и являются следствиями рассматриваемых уравнений.

При этом возникает две трудности:

1.  Как удовлетворить краевым и начальным условиям. Ведь если функция только интегрируема (по Лебегу) в -мерной области, то она может быть не определена на множечствах меньшей размерности.

2.  При слишком широком понимании решения краевой задачи может нарушиться теорема единственности.

Поэтому С. Л. Соболевым было введено понятие обобщённой производной для интегрируемой по Лебегу функции, в соответствии с этим понятием определялось и обобщённое решение.

< Предыдущая		Следующая >