22. Обобщённые производные в смысле Соболева и их свойства

Рассмотрим в область ограниченную или неограниченную и функцию , т. е. и имеет компактный носитель, содержащийся в . Другими словами , где - компакт в . Тогда по формуле интегрирования по частям имеем:

Определение. Если для данной существует такая, что выполняется равенство

то говорят, что обобщённую производную в смысле Соболева и полагают .

Аналогичным образом можно определить обобщённую производную любого порядка , где - мультииндекс.

Определение. Функция называется обобщённой производной на порядка от функции , если выполняется тождество при этом полагают

Пример. Если и то обычно производной в т. нет, но , т. е в смысле Соболева.

Лемма 1. Если есть обычная производная, определённая в каждой точке , тогда является обобщённой производной от порядка .

Доказательство следует из интегрального тождества.

Лемма 2. Обобщённая производная определяется с точностью до эквивалентности.

Обобщённые производные сохраняют некоторые свойства обычных производных:

1) Если и имеют обобщённую производную в , то также имеет обобщённую производную в при этом

2) Если есть обобщённая производная вида , а есть обобщённая производная вида , то есть обобщённая производная от

3) Из определения обобщённой производной следует, что она независит от порядка дифференцирования.

Однако, обобщённые производные сохраняют не все свойства классических:

1) Так, например, из того, что каждый из сомножителей имеет обобщённую производную не следует, что произведение дифференцируемо. Нужно потребовать, например, чтобы , или в общем случае , где , что следует из неравенства Гёлдера.

2) Далее, из существования обобщённой производной не следует существования производных более низкого порядка. Условие при которых этот факт имеет место даются «теоремами вложения» Соболева. Приведём пример функции, имеющей обобщённую производную второго порядка и не имеющей обобщённой производной первого порядка: Пусть , пусть не имеют обобщённой производной, тогда не имеет обобщённой производной, однако, очевидно имеет вторую обобщённую производную , которая равна нулю.

3) Другим важным отличием обобщённых производных от классических является то, что обобщённые производные определяются с точностью до множества меры ноль.

Отметим, однако, что функция может иметь классическую производную почти всюду в области, и не иметь обобщённой производной.

На вопрос о том, какую гладкость в классическом смысле имеют функции , имеющие те или иные обобщённые производные, если их переопределить на множестве меры ноль отвечают теоремы вложения Соболева.

Пространство Соболева и его полнота.

Определение. Рассмотрим множество всех функций , , для которых выполнены условия:

2) в смысле Соболева, причём

Введём в этом множестве норму

(1)

Из 1) и 2) следует, что для элементов этого множества норма (1) всегда конечна. Это множество с нормой (1) называется пространство в обозначениях Соболева, и норма в нем записывается со значком внизу

Замечание. Докажем, что . Пусть . Тогда для любого компакта действительно в силу неравенства Коши-Буняковского:

Так как в силу ограниченности и т. к. , следовательно

В можно задать гильбертову структуру, т. е. скалярное произведение: любым двум функциям сопоставляем число:

. (2)

Тогда становится вещественным гильбертовым пространством, очевидно, (2) обладает всеми свойствами скалярного произведения.

Теорема. Пространство является полным относительно нормы (1).

Доказательство. Рассмотрим последовательность и предположим, что она фундаментальна в , т. е при . Тогда из определения нормы (1) следует, что , при . Но - полное пространство. Поэтому существует функции и и при этом

Далее необходимо доказать, что в смысле Соболева, но это немедленно следует из того, что из сильной сходимости следует слабая

, т. е

Пространство Соболева

Рассмотрим множество всех функций , имеющие все обобщённые производные до целого порядка включительно, интегрируемые со степенью . Это множество можно превратить в нормированное, если на этом множестве ввести норму.