19. Первая вариация и производная Гато нелинейного оператора

Рассмотрим нелинейный оператор с областью определения в банаховом пространстве и со значениями в банаховом пространстве .

Определение. Если для всех существует предел , то этот предел называется первой вариацией оператора в точке .

Отметим, что вообще говоря нелинейный оператор, действующий из в . Однако…

Определение 2. Пусть оператор имеет в точке первую вариацию следующего вида: , где -линейный ограниченный оператор, тогда говорят, что оператор дифференцируем в точке в смысле Гато. При этом называется производной Гато оператора в точке .

Заметим, что из дифференцируемости в смысле Фреше следует его дифференцируемость в смысле Гато. Действительно, , где , тогда при , где и переходя к пределу

Но из дифференцируемости по Гато не следует дифференцируемость по Фреше.

Пример. Функция :

если

в остальных точках , эта функция разрывная, а следовательно не дифференцируема по Фреше. Однако производная по Гато равна нулю.

Можно привести пример оператора имеющего первую вариацию но не имеющего производной Гато: при , .

< Предыдущая		Следующая >