16. Обобщённые функции.

В основе теории лежит пространство . Каждая функция обладает следующими свойствами.

1) непрерывная на оси бесконечно дифференцируемая функция.

2) Для любого неотрицательного целого числа и любого многочлена произвольной степени : .

Из этих свойств вытекает, что для каждой функции существует конечный несобственный интеграл.

Тем самым, каждая вместе со своими производными принадлежит .

Примером функции Является . По индукции нетрудно показать, что . Очевидно свойства 1)-2) выполняются.

Вторым примером функции является так называемая финитная функция. Это бесконечно дифференцируемая, равная нулю вне некоторого отрезка функция. Любая её производная тоже равна нулю вне некоторого отрезка. Поэтому свойства 1)-2) очевидно выполнены.

На множестве вводится понятие предельного перехода. Последовательность называется сходящейся к функции , если для любого неотрицательного целого числа и любого многочлена имеет место равенство.

Равномерно относительно всех .

является линейным пространством.

Напомним, что на задан функционал, если для каждой задано число : . Функционал называется линейным, если , непрерывным, если

Линейный непрерывный функционал, определённый на называется обобщённой функцией. Совокупность всех обобщённых функций над обозначается через . Приведём примеры.

Пусть кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

Линейность и непрерывность очевидна.

Теорема. Для того чтобы две кусочно-непрерывные функции, предстовляли равные обобщённые функции, необходимо и достаточно чтобы они были равны в точках непрерывености.

Поэтому обобщённую функцию, представимую через интеграл от кусочно-непрерывную функцию отождествляют с этой функцией.

Замечание. Существуют функции, например , для которых интеграл не является обобщённой функцией. Обобщённые функции, порождённые обычными функциями называются регулярными, однако есть и нерегулярные, например : .

Формулы Сохоцкого.

Введём линейный функционал.

Справедливы формулы Сохоцкого.

Здесь

Операции над обобщёнными функциями.

Пусть - обычная функция

Это определение мы и примем за определение производной обобщённой функции., т. е .

Очевидно любая обобщённая функция имеет производную какого угодно порядка.

Например,

, где - функция Хевисайда.

По определению последовательность обобщённых функций сходится к , если .

А это означает, что можно рассматривать ряды состоящие из обобщённых функций. Для обобщённых функций вводится операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию. С помощью равенства.

Однако Шварцем показано, что произведение двух обобщённых функций, которое было бы ассоциативно и коммутативно определить нельзя. Действительно тогда бы мы имели противоречивую цепочку равенств.

Отметим, что если , действительное число, то обобщённые функции определяются при помощи равенств.

Эти определения естественны так как они автоматически выполнены для регулярных обобщённых функций.

Преобразование Фурье обобщённых функций.

Отметим, что если функция , то её преобразование Фурье

также принадлежит .

При этом это преобразование отображает на линейно и непрерывно.

Непрерывность заключается в том, что если какая-либо последовательность функций сходится в смысле к функции , то и сходится к в смысле сходимости в . То же самое справедливо и для обратного преобразования Фурье