07. Норма оператора

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

-  эта величина называется нормой оператора.

Теорема. Если и линейные операторы, то

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

Доказательство.

1)  То, что - очевидно, докажем , если , то и , следовательно, и . Если , то , значит для , т. е. .

2)  Поскольку для любого вектора Ax имеет место равенство , , а значит . Аналогично,

3)  используя неравенство треугольника , значит

4)  Очевидно.

5)  Дважды применяем свойство 4) и определение нормы оператора.

6)  Раскрывая модуль . Левое неравенство может быть записано так , но оно немедленно следует из неравенства треугольника

Сходимость операторов

Говорят, что последовательность линейных операторов сходится к , если числовая последовательность .

Простейшие свойства.

1.  Пусть , тогда

2.  Пусть и все ограничены то тоже ограничен и .

Доказательство. 1)

2) Выберем , так чтобы тогда , т. е. ограничен. Кроме того, .

Теорема. Всякая фундаментальная последовательность линейных операторов действующих из одного гильбертова пространства , в другое сходится.

Схема доказательства. Если фудаментальна, то также фундаментальна (почему?), а так как она в полном пространстве то существует . Обозначим , осталось показать, что линейный оператор и .

< Предыдущая		Следующая >