1.4. Аналитические функции

Функция называется Аналитической функцией в области , если она Дифференцируемая во всех точках и ее Производная непрерывна в этой области .

Действительная и мнимая части аналитической функции – Гармонические функции, т. е. удовлетворяют уравнению Лапласа , .

Пример 1.4.1. Проверить гармоничность функции И в случае положительного ответа восстановить аналитическую функцию по данной ее действительной части.

Решение. Вычисляем частные производные функции : ;

;

; ;

Преобразуем

.

Таким образом,

.

Функция - гармоническая всюду, за исключением точки и является действительной частью аналитической функции.

Из условий Коши - Римана (1.3.1) восстановим мнимую часть:

.

Поэтому

.

С другой стороны,

.

Отсюда

И , .

Имеем

.

Полагая в последнем равенстве , , , восстанавливаем функцию

.

Ответ: - гармоническая всюду, за исключением точки и является действительной частью функции , аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением .

< Предыдущая		Следующая >