1.2. Основные элементарные функции комплексной переменной

1) Показательная функция (формула Эйлера) .

2) Тригонометрические функции

.

3) Гиперболические функции

, , , .

Заметим, что

, , , .

4) Логарифмическая функция ;

Главное значение (главная ветвь) .

5) Степенная функция ;

Главная ветвь .

6) Показательная функция

Главная ветвь .

7) Обратные тригонометрические функции

; ; ; ;

(Ареасинус) ; (Ареакосинус) ; (Ареатангенс) ; (Ареакотангенс) .

Замечание. Функция комплексной переменной сама является многозначной функцией. Выбор ветви многозначной функции Здесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функция являлась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной переменной. Из последнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действительных значениях подкоренного выражения.

Пример 1.2.1. Найти аналитическое выражение для функции .

Решение. По определению обратной тригонометрической функции равенство равносильно равенству. Отсюда . Полагая в последнем равенстве , получим квадратное уравнение . Выбираем одно решение этого уравнения (см. замечание)

. Следовательно, и

. Так как , то .

Ответ:.

< Предыдущая		Следующая >