32. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом назовем ряд вида Cn(Z-z0)N, Z0 - центр, Cn - коэффициенты - заданные комплексные числа. При Z= z0 ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимости SN!Zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости SZn/N!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов Cn.

1. Теорема Абеля.

Теорема Абеля. Если степенной ряд SCn(Z-z0)N сходится в точке Z1 ¹ Z0 , то он абсолютно сходится и при " Z: |Z-z0|<|Z1-Z0 |, причем в замкнутом круге

|Z-Z0|£r<|Z1-Z0| сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку Z: |Z-z0|<|Z1-Z0|. В силу необходимого условия сходимости ряда $ A>0 : для " N |Cn(Z1-z0)N|<A

Þ |Cn|<A/|Z1-Z0|N Þ |Cn(Z-Z0)N|<A|(Z-Z0)/(Z1-Z0)|N .

Но |(Z-Z0)/(Z1-Z0)|=Q<1 Þ |SCn(Z-Z0)N|<ASQn Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Þ сходится абсолютно.

При |Z-Z0| £ r <|Z1-Z0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т. к. |SCn(Z-Z0)N| £ AS|r/(Z1-Z0)|N < ASQn , Q<1 n

Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд Расходится в точке Z2 ¹ Z0 , то он Расходится и при " Z: |Z-Z0|>|Z2-Z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <|Z-Z0 |, в частности и в точке Z2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|Z1-Z0 |=R для " Z1, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки Z0 до точек Z1, в которых сходится ряд SCn(Z-Z0)N .

Если R¹¥, то для " Z2: |Z2-Z0|>R ряд расходится. Þ R=inf|Z2-Z0 |=R для
" Z2 , где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |Z-Z0|<R - круг сходимости степенного ряда, Число R>0 - Радиус сходимости Степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |Z-Z0|=R Может как сходиться, так и расходиться.

3.Формула Коши-Адамара.

R=1/L, L=

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0<L<¥,

Тогда ряд сходится при

Если L=0, то

Т. о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L=¥, то

Т. о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т. о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т. е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В " круге |Z-Z0|£r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса SCn(Z-Z0)n=F(Z)ÎC¥(|Z-Z0|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. SCN(Z-Z0)n=F(Z) Þ C0=F(Z0), SCN+1(n+1)(Z-Z0)n=F '(Z) Þ C1=F '(Z0)…
SCN+k(n+k)!(Z-Z0)n=F(k)(Z) Þ CK=F(k)(Z0)/k!

7. Пример. : " CN=1 Þ R=1.

Sn=[1-(Z-Z0)n+1]/[1-(Z-Z0)]; |Z-Z0 |<1

=1/[1-(Z-Z0)]. Þ =1/[1-(Z-Z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

1) по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга сходимости нет, т. к. модуль членов ряда не убывает ни для каких Z.

2) по формуле Коши-Адамара R=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (Z=-1 ), а в других расходится (Z=1 ),.

3) по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга ряд сходится, т. к. мажорируется сходящимся .

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак SCN(Z-Z0)n=F(Z)ÎC¥(|Z-Z0|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

< Предыдущая		Следующая >