31. Свойства равномерно сходящихся рядов
Свойства равномерно сходящихся рядов:
Теорема 14.1. (Непрерывность суммы) Пусть Uk(z)ÎС(g) и SUk(z)=>f(z), тогда F(z)ÎС(g).
Доказательство.
Uk(z)=>f(z) Þ одновременно выполнены неравенства
|F(Z+DZ)-Sn(Z+DZ)|< e/3 и |F(Z)-Sn(Z)|< e/3 для "e>0.
Uk(z)ÎС(g) Þ для "e>0 и "N $ d>0:
При |DZ|<d
Þ |DF|=|F(Z+DZ)-F(Z)|£
£|F(Z+DZ)-Sn(Z+DZ)|+|Sn(Z+DZ)-Sn(Z)|+|Sn(Z)-F(z)| £
£e/3+e/3+e/3=e для |DZ|<d, N>N.n
Примеры
1. Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная
2. аналогично
Теорема 14.2. (Возможность почленного интегрирования). Пусть Uk(Z)ÎС(g) и SUk(z)=>f(z), G кусочно - гладкий контур GÌg конечной длины L. Тогда .
Доказательство
Uk(z)=>f(z) Þ
Для "e>0 $ N(e): | Rn(z) |<e/L для "n>N(e)
=£<=en
Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.
Примеры.
1. Найти , если
2. Является ли непрерывной функция
3.
4.
5.
Теорема Вейерштрасса. Если Uk(z)ÎC¥(g) и SUk(z)=>f(z) в любой замкнутой подобласти области g то:
1. F(Z)ÎC¥(g).
2. , для "ZÎg.
3. "Z Î".
Доказательство
1. Рассмотрим произвольную Z0Îg и построим односвязную : Z0Î, в силу Теоремы 14.1 F(Z)ÎС(g).
Рассмотрим произвольный контур GÌ. По Теореме 14.2 .
Т. о. для F(z) выполнены все условия Теоремы Морера Þ f(Z)ÎC¥(). В силу произвольности f(Z)ÎC¥(g).
Замечание. Т. к. Rn(Z)=f(Z)-Sn(Z) Þ Rn(Z) ÎC¥(g).
2. Рассмотрим произвольную Z0Îg и произвольный контур GÌg. Обозначим .
для " zÎG, т. к.
По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно
По Теореме 8.1.
.
В силу произвольности z0 утверждение 2 доказано.
Замечание. Rn(p)(z)=f(p)(z)-SN(p)(Z)=.
3. Рассмотрим " и G - замкнутый контур: ÌGÌg и "zÎ и "xÎG |Z-x|³d>0.
Rn(Z) ÎC¥(g) Þ для "zÎ .
Uk(z)=>f(z) Þ "e>0 $ N(e): , где L - длина G.
Тогда .
Т. о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных Þ .
Пример. Ряд Szk/k2 сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных Szk-1/k Не может равномерно сходится в этом круг, т. к. он расходится при z=1. Ряд Szk-1/k равномерно сходится при |z|<1.
Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна
Теорема 14.3. Пусть Uk(x) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [A, b] и ряд, составленный из производных - равномерно сходится на отрезке [A, b], тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке CÎ[A, b], то он равномерно сходится на всем отрезке [A, b], его сумма непрерывно дифференцируема и .
Доказательство.
Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).
Найдем первообразную
для . Ряд сходится по условию теоремы Þ тоже сходится на всем промежутке.
Левая часть равенства имеет производную по X Þ$S¢(X)=s(X) и
сходится равномерно, т. к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит от X.
Примеры.
1. Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производных расходится, например при X=0.
2. (1+1+1+1+…)¢=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т. к. исходный ряд расходится.
3. почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.
< Предыдущая | Следующая > |
---|