30. Равномерная сходимость uk(z) в области g

Определение. Если для "e>0 $ N(e) : | rn(z)| <e для "n >N(e) и " Z Одновременно, то ряд åUk(z) называется Равномерно сходящимся к функции F(z) в g.
Обозначение: åUk(z)=>f(z).

Критерий Коши (Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).

Если для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n > N и "m>0 и " z одновременно, то ряд åUk(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость.

Пусть åUk(z)=>f(z) "e >0 $ N(e): |F(z)-Sn(Z)| <e /2 для "n>N(e) и "ZÎg => и |F(z)-Sn+m(Z)| <e /2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg.
Достаточность. Пусть для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(Z)-Sn(Z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg => сходится в "ZÎg, т. о. в g определена F(z)= .

Для "n>N(e) и "zÎg => |Rn(z)| <e для "n>N(e) и "ZÎg. n

Признак Вейерштрасса (Достаточный признак равномерной сходимости).
Если |Uk(z)|<Ak, Ak>0 для "K>N и "ZÎg и SAk сходится, то SUk(z)=>f(z) в g.
Доказательство.

SAk сходится => "e>0 $ N(e): <e для "n>N(e)

Для "n>N(e) и "zÎg. n

Примеры.

1.

2. (Оценить сверху значением функции в ее максимуме)

3. (Оценить сверху значением функции в ее максимуме )

(

< Предыдущая		Следующая >