08. Определение функции f(z) аналитической в области. Необходимое и достаточное условие аналитичности f(z)

Определение. Функция F(z) называется Аналитической функцией в области g, если она дифференцируемая во всех точках ZÎg и ее производная непрерывна в этой области F ' (z) ÎC(g)

F(z)Î C ¥ (g).

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условиями Аналитичности функции F(z)=u(x, y)+iv(x, y) в области g, являются непрерывность первых частных производных Ux, uy, vx, vy и связь их условиями Коши-Римана.

Доказательство.
Необходимость.

F(z)ÎC¥(g) => (z)Î C(g) => Ux, uy, vx, vy ÎC(g). Выполнение условий Коши-Римана следует из Теоремы 4.1.

Достаточность.

Ux, uy, vx, vy Î C(g) => $ первые дифференциалы функций U(x, y), v(x, y) => по Теореме 4.2 $ F '(z) =ux+ivx ÎC(g); непрерывность следует из непрерывности Ux , vx.n

Замечание. В дальнейшем будет показано, что

F(z)ÎC¥ (g) => (z)ÎC¥ (g) и для "n $ F(n)(Z)ÎC¥(g).

< Предыдущая		Следующая >