06. Непрерывность функции комплексной переменной

1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0Îg.

Определение 1. (По Гейне) Комплексное число W0 называется Пределом F(z) в точке Z0Îg, если для " {ZN}®Z0 соответствующая последовательность {F(ZN)} ® W0.

Определение 2. (По Коши) Комплексное число W0 называется Пределом F(z) в точке Z0Îg, если для "e >0 $d (e,Z0)>0 : |F(z)-w0|<e, как только 0<| Z-z0|<d.

F(z)= w0.

Теорема 3.1. Определения по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство.
1) (КошиÞГейне). Пусть F(z) удовлетворяет О2. Возьмем "e >0 и выберем соответствующее d(e)>0. Рассмотрим произвольную последовательность {ZN}® Z0 и найдем N[d (e)]=N(e): для " n>N(e) 0<|Zn-z0|<d. Тогда по условию O2 0<|F(zn)-w0|<e для " n>N(e). А т. к. e>0- любое и {ZN}®Z0-произвольная, то это значит, что {F(zn)}®W0, т. е. выполнено O1.

2) (ГейнеÞКоши). Предположим противное: пусть верно O1, а O2- неверно.

Это значит, что $e0>0, что "dn>0 $ ZNÎg, что 0<|Zn-z0 |<dn, будет выполнено |F(z)-w0|>e0. Выберем {dn}®0 и соответствующую ей последовательность {ZN}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что $ {zn}®z0, а {F(zn)}не сходится к W0. Т. е. О1 неверно. Получили противоречие. n

2. Непрерывность функции.

Определение. Функция комплексной переменной F(z), zÎ g, называется Непрерывной В точке Z0Î g, если $ ограниченный предел F(z)= w0 и W0= f(z0).

Определение. (в терминах e-d) Функция комплексной переменной F(z), zÎ g, называется Непрерывной В точке Z0Î g, если " e >0 $d (e,Z0)>0 : " Z : |Z-z0|<d ; |F(z)-f(z0)| <e.

Определение. Функция комплексной переменной F(z), zÎ g, называется Непрерывной В области G, если она непрерывна в " ZÎ g.

F(z)Î C(g).

F(z)=u(x, y)+iv(x, y)

Теорема 3.2. Необходимым и достаточным условием непрерывности F(z) в g (F(z) ÎC(g)) является требование, чтобы U(x, y) и V(x, y) были непрерывны в области g плоскости (x, y) по Совокупности переменных.

Справедливость теоремы следует из определения непрерывности функции двух переменных по совокупности переменных.

< Предыдущая		Следующая >