07. Предел и непрерывность

Определение. Число называется пределом функции при (обозначается ), если такое, что : выполняется неравенство

. (2.27)

Говорят, что , если такое, что :

. (2.27¢)

Замечание. Существование предела по любому фиксированному пути для функции еще не гарантирует существование предела при .

Пример. Показать, что для функции .

Решение. При по любому лучу имеем , то есть эти пределы различны для различных направлений - они заполняют сплошь отрезок [-1,1] и, следовательно, .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и .

Определение 3. Функция , непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Задачи для самостоятельного решения

17. Изобразить множества; выяснить, какие из них являются областями, какие нет, какие из них - ограниченные области, какие не ограничены:

А) ; б) ; в) ; г) ; ;

Д) .

18. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий (T- действительный параметр):

А) , ; б) , ; в) ; г) ;

д) .

19. Какие линии заданы комплексным уравнением (T-действительный параметр):

А) ; б) ; в) ; г) ; д)?

20. Для указанных функций найти действительную и мнимую части:

А) ; б) ; в) ; г); д); е).

21. Найти образы данных точек при указанных отображениях: а) , ; б) , ; в), ; г) , .

22. На какие линии плоскости (W) отображает функция следующие линии плоскости (z): а) прямую ; б) прямую ; в)гиперболу ; г)окружность ?

23. Найти уравнение линий плоскости (W), на которые функция отображает следующие линии плоскости (Z): а) ; б) ; в);
г) ; д) ; е) .

24. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;
ж) .

25. Записать комплексные числа в показательной форме: а) 1; б) I; в) 1+I; г); д).

26. Вычислить: а); б); в); г) .

27. Записать в алгебраической форме : а); б); в); ; г); д); е).

28. Вычислить: а); б); в); г); д).

29. Найти: а); б); в); г); д); е); ж).

Решить уравнения:

30. . 31.. 32.. 33.. 34. . 34.. 36.. 37. а); б).

Вычислить пределы:

38.. 39.. 40.. 41.. 42..

Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:

43. . 44.. 45.. 46..

Как доопределить данные функции в точке , чтобы они стали непрерывными в этой точке:

47.. 48.. 49.. 50..

51. Доказать, что функция не имеет предела при .

Указание. Положить , так что .

< Предыдущая		Следующая >