05. Функции комплексного переменного

Определение 1. Областью в комплексной плоскости (Z) называется открытое связное множество.

Определение 2. Открытым называется множество, состоящее лишь из внутренних точек.

Определение 3. Точка Z Называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение 4. Под - окрестностью точки A понимается открытый круг радиуса с центром в точке A:

. (2.1)

Определение 5. Множество называется связным, если любые две его точки и можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение 6. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса R с центром в начале координат. Иначе она называется неограниченной.

Определение 7. Границей Г области D называется совокупность точек, не принадлежащих области D, но любая окрестность которых содержит точки, принадлежащие области D.

Определение 8. Область D вместе с границей Г называется замкнутой областью; обозначается это .

Определение 9. Ограниченная область называется односвязной областью, если ее граница состоит из одной связной линии; многосвязной областью, если ее граница состоит из нескольких связных линий. Связной называется линия, из любой точки которой можно перейти по ней в любую другую ее точку.

Определение 10. Говорят, что в области D определена функция , если поставлено в соответствие (по некоторому закону соответствия) одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений W. Пусть . Тогда

. (2.2)

Функция комплексного переменного (ФКП) (2.2) не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных x и y:

; . (2.2¢)

Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости (Z) на соответствующие точки комплексной плоскости (w) (формула (2.2¢)).

Пусть в плоскости (Z) кривая задана уравнением . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости (w) при отображении с помощью функции , нужно исключить X и Y из уравнений

(2.3)

Если кривая задана параметрическими уравнениями или , то параметрические уравнения ее образа при отображении будут

(2.3¢)

Пример 1. Даны множества точек: a) ; б) ; в); г) . Какие из этих множеств являются областями?

Решение. В соответствии с определениями 1-9 заключаем, что множества - открытый круг с центром в точке –I радиуса 3, множество - открытое круговое кольцо с центром в начале координат, множество - открытый угол (см. рис.7) являются областями. Построив множество г):(см. рис.10) убеждаемся, что оно не является областью (не выполняется для него условие связности).

Рис.10.

Пример 2. Найти действительную и мнимую часть функции .

Решение. Имеем +; отсюда ; .

Пример 3. В какую кривую отображается единичная окружность с помощью функции ?

Решение. Имеем . Исключая X и Y из уравнений ; ; , получим . Таким образом, окружность преобразуется при преобразовании в окружность в плоскости . Так как , то когда точка z описывает полную окружность , ее образ (точка W) описывает две полные окружности .

< Предыдущая		Следующая >